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Niveau: Supérieur
2 avril 2012 17:41 Page 1/4 2 0 1 2Mathématiques 2 TSI 4 heures Calculatrices autorisées Ce problème est basé sur une illusion d'optique. On dit que deux courbes P et R de l'espace font illusion si les trois propriétés suivantes sont vérifiées quels que soient les points P et R de P et R : ? P et R sont distincts ; ? si les deux vecteurs non nuls ??p et ??r dirigent respectivement la tangente à P en P et la tangente à R en R, le vecteur ??? PR n'est colinéaire ni à ??p ni à ??r ; ? le produit vectoriel ??p1 = ??p ? ??? PR est orthogonal au produit vectoriel ??r1 = ??r ? ??? PR . Pour situer l'illusion d'optique, plaçons un observateur sur la droite (PR), hors du segment [P,R] et regardant vers P et R. Son œil étant aligné avec P et R, ces points (distincts) lui semblent être confondus. De plus, son œil est, a fortiori, dans le plan passant par P et dirigé par ??p et ??? PR donc toute droite de ce plan lui semble être la tangente à P ; l'illusion est analogue pour la tangente à R. Comme ??p1 et ??r1 sont orthogonaux, ces deux tangentes lui semblent être orthogonales donc les deux courbes semblent se couper à angle droit.
Voir
2 avril 2012 17:41 Page 1/4 2 0 1 2Mathématiques 2 TSI 4 heures Calculatrices autorisées Ce problème est basé sur une illusion d'optique. On dit que deux courbes P et R de l'espace font illusion si les trois propriétés suivantes sont vérifiées quels que soient les points P et R de P et R : ? P et R sont distincts ; ? si les deux vecteurs non nuls ??p et ??r dirigent respectivement la tangente à P en P et la tangente à R en R, le vecteur ??? PR n'est colinéaire ni à ??p ni à ??r ; ? le produit vectoriel ??p1 = ??p ? ??? PR est orthogonal au produit vectoriel ??r1 = ??r ? ??? PR . Pour situer l'illusion d'optique, plaçons un observateur sur la droite (PR), hors du segment [P,R] et regardant vers P et R. Son œil étant aligné avec P et R, ces points (distincts) lui semblent être confondus. De plus, son œil est, a fortiori, dans le plan passant par P et dirigé par ??p et ??? PR donc toute droite de ce plan lui semble être la tangente à P ; l'illusion est analogue pour la tangente à R. Comme ??p1 et ??r1 sont orthogonaux, ces deux tangentes lui semblent être orthogonales donc les deux courbes semblent se couper à angle droit.
- ??? pr
- colonne de composantes
- ??p ?
- vecteur ligne
- cône de révolution de sommet
- plan ?
MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-
phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel
Dans tout le problème,
• les espaces vectoriels
et
sont munis de leur produit scalaire
canonique et orientés par leur base canonique,
• on désigne par
ou
le produit scalaire de deux vecteurs
d’un espace vectoriel euclidien, par
la norme associée,
• on désigne par
le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel
euclidien orienté de dimension 3.
Les vecteurs dans les espaces vectoriels
sont notés en colonnes, mais on leur
préférera la notation
, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande
taille.
Partie I - Étude dans
euclidien orienté de dimension 3
On considère dans cette partie
espace vectoriel euclidien orienté de
dimension 3 et la base canonique
orthonormale directe. Si
est dans
on définit
, endomorphisme de
, par sa restriction à
:
I.A -
Dans cette question on considère les endomorphismes
, de
matrices respectives
et
dans la base
:
Déterminer
et
, matrices respectives dans la base
de
et
.
IR
3
IR
4
,
IR
6
x
y
,
〈
〉
x
y
⋅
x
y
,
.
∧
IR
n
…
(
)
t
E
E
IR
3
=
B
e
1
e
2
,
e
3
(
,
)
=
u
L
E
(
)
u
~
E
B
u
~
e
1
(
)
u
e
2
(
)
u
e
3
(
)
∧
=
u
e
2
(
)
~
u
e
3
(
)
u
e
1
(
)
∧
=
u
~
e
3
(
)
u
e
1
(
)
u
e
2
(
)
∧
=
u
1
u
2
,
L
E
(
)
∈
U
1
U
2
B
U
1
0
0
1
–
1
0
3
–
0
1
3
–
=
U
2
0
1
1
0
1
1
–
0
1
1
=
U
~
1
U
~
2
B
u
~
1
u
~
2
