Bac 2019 : le corrigé de mathématiques (ES Spé)

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Bac 2019 : le corrigé de mathématiques (ES Spé)

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Publié le 21 juin 2019
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✳✸▲❛✬♠r✣❛t♦✐♥✸ts❡


P(S) = P(R∩S) + PR∩S

= P(×P (S)
R)×PR(S) + PRR
= 0,7×0,4 + 0,3×0,2
= 0,28 + 0,06
= 0,34

❖♥♣❡✉t❞♦♥❝❝❧❛❝r❡❧✉✿

✈r❛✐❡


PR∩S
PSR=
P(S)
0,3×0,2
=
0,34
0,06
=
0,34
3
=
17

12✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ✿

[k; 18]✿❡st

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P❛❧✉❉❆❚❘❍❖❙

❢❛✉ss❡

k+ 18
= 12⇐⇒k+ 18 = 2×12
2
⇐⇒k+ 18 = 24
⇐⇒k= 24−18
⇐⇒k= 6

R✈✐r❡✬❧♥✉♥♦❡❞✐t✐t❛❧♦✐✉❞❡❧✈❡rts✱❡♥s❡❞✉♥♥t❛r❡♣❢♠❡♦r

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5

x
2
lnx−ln +ln(2) = ln(2x) + 5
e

5
⇐⇒2 ln(x)−ln(x)−ln(2) = ln(2) + ln(ln(e) +x) + 5
⇐⇒2 ln(x)−(5 ln(x)−1) + ln(2) = ln(2) + ln(x) + 5
⇐⇒2 ln(x)−5 ln(x) + 1 = ln(x) + 5
⇐⇒−4 ln(x) = 4
⇐⇒ln(x) =−1
1
−1
⇐⇒x= e=
e
1
▲qé✬✉✐t❛♦♥❛❞♠t❡❜✐❡♥✉♥❡✉♥✉✐q❡s❧♦✉t♦✐♥q✐✉st❡✿✬❧❛✣♠r♦✐t❛♥ts❡
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✉✉✐♥q❡s❧♦t♦✐✉♥r✉s❝t❡♥✐t❧❛✈r❡❡❧❀

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′ ′
r❛❡✐✈❡❡♥rtf(5)<0❡tf(15)>0♥❝✱❡❞♦❞✉r❡✐❛❧❧♦r♦❝✉❞✉tr❡✈♥

té❤♠rè♦❡❞s❡❛❡❧✈✉rs✐♥tr❡♠é✐❞❛r✐s❡✱é✬❧✉qt❛♦✐♥f(x) = 0❛❞♠❡t ✉♥❡
✉♥q✐✉❡♦s✉❧✐t♦♥✉sr❝❡tt✐♥r❡✈❛❧❧✳❡

❧■②❛❞♦♥❝❞❡✉①st✉❧♦♦✐♥sà✬éq❧✉❛t✐♦♥f(x) = 0❡❧❧✉s❧rr❡❛✈✐✬t♥[0 ; 15]❀
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❊♥❡✛❡t✱❧❛❢♦♥❝♦✐t♥f❡✉r❡s✈♥①❡ts♦❝

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❝❡✉q✐r❡✈❡✐t♥à♠❧✉t♣✐❧r❡✐❡❧♥♦♠❡r❜r♣é❝é❞❡♥t
▲❛r✉❡♥❝❡♣❛❧♥t❡❝❤❛✉q❡❛♥♥❡é22r❡ss♣✉❧♣♣♠♦✐♠❡s♣❛r❤❡❝té❛♠r❡❡♥✱t❛✐r
❝❡✉q✐❡sttr❛❞✉t✐♣❛r❛✬❧♦❥t✉❞❡22✳❡✉r♦❡✉❡♥❜tà❧❛❧❛✈
❊♥❝♦♥❝s✉❧♦✐♥✿∀n∈N✱un+1= 0,96un+ 22✳
✭❜✮❊♥✉✐❧✐t❛s♥t❧❡♠♦❧❞è❡❝❤♦✱s✐✐❡❧♥♦♠❡r❜❞❡♣♦♠♠r❡✐s♣r❛❤❡t❝r❛❡❡♥

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320✳

u2= 0,96×u1+ 22
= 0,96×(0,96×u0+ 22) + 22
= 0,96×(0,96×300 + 22) + 22
= 0,96×310 + 22
= 319,6

N←−0
U←−300
❛♥t❚q✉❡U <400❡r✐❛❢
N←−N+ 1
U←−0,96×U+ 22
❋✐♥❛t♥❚✉q❡

✭❜✮➚❛❧✜♥❞❡✬❧❡①❝é✉t✐♦♥❞❡❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠✱❡❛❧❛✈r❛✐❜❡❧N❝t✐♦♥t❧❡♥❛❧❛✈r❡✉
13❡q✉❡❣♥✐✜❧❛s✐✳❈❡è❞❡❧❡❝♦♠r♣sè❞✱❛✬♠✐♦♠❡♣❡❞❜r♦♠❡♥✱❧r❛♣sr❡
❤❡❝❡r❛t♣é❞❛s❡r❛400❛✉ ❜♦✉t ❞❡13✶✳✐♦❡t✷♥✸✵❛s♥s✱
✸✳✭❛✮❖♥✱❛♣♦r✉t♦t✉♥♦♠❡r❜❡t♥r❡✐♥❛❧❡r✉tn✿
vn+1=un+1−550
= 0,96un+ 22−550
= 0,96un−528
= 0,96un−0,96×550
= 0,96×(un−550)
= 0,96×vn
❖♥❡♥rt❡✐q✉❡(vn)❡❞❡r❛✐s♦♥❡tsé❣♠♦té✐r✉q0,96❡r♠t❡❡r♠✐r❡✱♥s♣♦
❛✈t✉v0=u0−550 = 300−550 =−250✳
n
✭❜✮U♥❡❡①r♣✐s❡♦♥ ❞❡vn♥❡♦❢t✐♥❝❞❡♦♥nst❡♥❝❞♦✿vn=−250×0,96✳
❖♥❛❛❧♦rs✱♣♦✉rt♦✉t♥♦❜♠❡r❡✐t♥r❡♥❛✉t❡r❧n✿
vn=un−550⇐⇒un= 550 +vn
n
⇐⇒un= 550−250×0,96
◆♦s✉♦❜❡t♥♦s♥✐❜❡♥❧✬❡①r♣s♦✐♥❡t✉❞✳❡♥❡❛
✭❝✮ ▲✬❛♥é♥❡✷✵✷✺ ❝r❣♥♦❛r✉❛❞♥♦♣s❡n= 7♠✐❡rs♣❛r♦♠❡♣é❞✐t♥s❞❡▲❛✳
7
❤❡❝t❛r❡❝❡❡t♥❝❞♦✿❞❡♥❛é♥✲❡à❧❡s❛ru7= 550−250×0,96✳ ❈♦♠♠❡
▲❛✉r❡♥❝❡❡①♣❧♦❡✐t✉♥❡❡❢♠r❡❞❡14♠❜♥♦❧❡s✱♠♠♣♦❞❡r❡❡❞sr❡✐❛t❡r❤❝❡
♦s♥❡①t✐♦❧♣❛♦✐t♥❡s❛r♦❧❛sr✿

❉❛✬sèr♣❝❡♠♦✱❡❧è❞▲❛r✉❡♥❝❡❡①❧♣♦❡✐t❛r❡♥✷✵✷✺✉♥❡❡❢♠r❡❝♦♠♣❛t♥t
5070s♦✳♠❡♠r✐♣

N= 14×u7
7
= 14×(550−250×0,96 )
≈5070✭r✬✉♥✐té✮♦♥❞✐à❧❛

✭❞✮❖♥s♦ré✉t❧✬✐éq♥✉❛✐t♦♥✿

n
un>400⇐⇒550−250×0,96>400
n
⇐⇒550−400>250×0,96
n
⇐⇒150>250×0,96
150
n
⇐⇒>0,96
250
n
⇐⇒0,6>0,96
n
⇐⇒ln(0,6)>ln (0,96 )
⇐⇒ln(0,6)> n×ln(0,96)
ln(0,6)
⇐⇒< n❝❛rln(0,96)<0
ln(0,96)

ln(0,6)
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ln(0,96)
ts❡é✈✐r❡é✜s✐❡ts❡✉❧❡♠❡♥ts✐n>13✳
❈❡❛❧❣✐s✜✐♥❡✉q✱❡❞❛✬sèr♣❝❡♠♦❞è✱❡❧❡❧♥♦♠r❜❡❞❡♣♦♠♠✐rs❡♣❛r❤❡❝❛t❡r
é❞♣s❛r❡❛400❛✉ ❜♦✉t ❞❡13♦s✱s♥❡t✐✶✸✵✷r♥♦✿r♦❡t❡❧✉✈és❡rt❛✉❧t❛♥
♦t❜❡♥✉♣éré❝❞❡♠♠❡♥t❣râ❝❡à❧✬❛❧❣♦❤✐tr♠❡✳

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✶✳✭❛✮V♦✐✐❝✉♥r❣❛♣❤❡♦s✐❝❛❝❡éà❡t✉❛✐t♦♥t✐✿s

0,4
0,8 0,6
D R
0,2

0,8 0,2
✭❜✮▲❛♠✐❛tr❝❡❞❡tr❛s♥t✐♦✐♥❞✉❣❛r♣❤❡❡ts✿M=✳
0,4 0,6
✷✳✭❛✮❉✬❛♣rès♥é✬❧♦♥✱é❝❏❧✉❡✐❡♠♣✉r♥t❡❧❛✈✐♦❡r❛♣❞✐❡❡❧r♣❡♠❡✐r♦❥✉✱r❞♦♥❝

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0,72 0,28
2
✭❜✮❖♥❝❧❛❝✉❡❧✿M=✳♥❖❡♣t✉✐❛s♥❝✐❧❛❧❡❝✉r✿
0,56 0,44


20,72 0,28
P3=P1∙M1= 0∙= 0,56 0,44✳
0,56 0,44

❖♥❡♥é❞❞✉t✐✉q❡❛❧r♣♦❜❛❜✐té❧✐q✉❡❏✉❡✐❧❡♠r♣✉❡t♥❧s❡r♦❡t✉s❞♣é❡tr❛✲
♠❡♥t❧❛❡s❡❧rt✐♦s✐♠è❡♦❥r✉❛✈t✉
✸✳✭❛✮P♦r✉t♦✉t♥♦♠❡r❜❡r❡✐t♥♥❧❡r✉t❛

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n❛✿♦♥❧✱♥✉♦♥♥Pn+1=Pn∙M✳


0,8 0,2
rn+1=dnrn∙
0,4 0,6
n✿

dn+1= 0,8dn+ 0,4rn
rn+1= 0,2dn+ 0,6rn

rn+1= 0,2dn+ 0,6rn
= 0,2(1−rn) + 0,6rn
= 0,2−0,2rn+ 0,6rn
= 0,4rn+ 0,2

0,4♦♥♣r❡♠✱strr❡♠❡❡✐

n✿

❖♥♦❡✐t❜t♥✐❜❡♥❛❧❡r❛❧✐t♦♥❛t❡♥❞✉❡✳
✺✳✭❛✮P♦r✉♦tt✉♥♦❜♠❡r❡✐t♥❡r♥❛tr✉❡❧

◆♦✉s♦❜t❡♥♦♥s❜✐❡♥❧✬❡①♣rs✐♦❡❡❛♥t✳❡♥✉❞

✭❜✮▲❛✬❧❣r✐♦t❤♠❡✶♥❡❝♣s❡r♣❞♥♦♦❛✉❧❛✉❛s❧❝❝❛t❧s❜❛✉♦❧❝❝✉r❛❞✱♥❛♥❞❡❡✱
❧❛✈❛❧❡✉r❞❡D❞❡✉r❡❧s❡t❡t♣♠✐♠r❡❛❧❛✈✱st❡✜é❡❞♠♦❞✐♥♣r❡❛♥s✉
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q✐✉s❡t✈r❛✐❡♣♦✉rt♦✉t♥♦♠❜❡r❡r❡✐t♥♥❛✉t❧❡r
❏❧✉❡✐❡♠r♣✉❡t♥♦s✐t❧❛✈♦✐❡r❛♣❞✐❡s✐♦t❧❡sr♦t✉❡s❞é♣❡t❛r♠❡t♥s❡❧❛✳✮
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2
n−1
vn=×0,4✳
3

d3❡t

3✳

rn= 1−dn

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1 12
❛✈t✉v1=r1−= 1−=✳
3 33
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n✱ ♦♥ ❛ ✿
1
vn+1=rn+1−
3
1
= 0,4rn+ 0,2−
3
2
= 0,4rn−
15
1
= 0,4rn−0,4×
3

1
= 0,4×rn−
3
= 0,4×vn

1 1
vn=rn⇒−⇐rn= +vn
3 3
1 2
n−1
⇐⇒rn= +×0,4
3 3
1 2 5 2
n−1
⇐⇒rn= +× × ×0,4
3 3 2 5
1 5
n
⇐⇒rn= +× ×0,4
3 3

r3✱ ❝r❛ ♦♥

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3♦✉✈❡❡❧❛♥❧❝✉❧♦♥❝❛✱❧❧❡

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1❣♥❛r✉❛

✮❝✭❈♦♠♠❡

n
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n→+∞
5
n
lim×0,04 =✳
n→+∞
3
1
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3
n→+∞
❖♥♣❡t✉ér♣✈r✐♦✉q✱❡✉sr❡❧♦❧♥❣❡tr♠✱❡❏✉✐❧❡❡♠r♣✉♥❡t❛r❛❧♦✈❡✐r❛♣✐❞❡
✉♥❡❢♦✐ss✉rrt✱s✐♦t❡s❡❧♦rs❡t✉é❞♣t❛❡r♠❡❛♥t❡❧s❡❧rts❡❡❞✉t❡♠s♣✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✸ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

P❛rt✐❡ ❆
✶✳■❧②❛♣é✉♥✐r❡❞❡✬❛✉♦❧sr✉q❡❡❧❞é✐❜tt❡s✐♥ér❢❡✐r✉à
q✉❡❝❡❧❛s❡♣♦r❞✉s✐❡❛✈✉t✿
❈❡rsé❧✉❛tt❛téé♦t❜❡♥✉à❧✬❛✐❞❡❞❡❧❛❝❛❝❧❧✉✐rt❛❝✳❡❖♥♣❡✉t❡❧✈✐ér✜❡r
❣r❛♣❤✐✉q❡♠❡♥tà✬❧❛❞✐❡❞❡❧❛❝♦✉r❜❡❞❡❞❡♥s✐té❞❡♦r♣❜❛✐❜ét✐❧❛sà❧é❡❝✐♦❛
✐❛r✈❛❜❧❡❛❧❛é♦tr❡✐D✿

✷✳■❧②✬♥❛♣s❛❞❡✐✈❛❧✐❣♥❝❡♣rt✐❛❝✉r❧❡✐è❧sr✉q♦❡❧❡❞❜ét✐s❡t❝♦♠♣r✐s❡❡tr♥
3−1 3−1
m.st❡m62.ss✐✈❡✉❛✿ts❛♣❡♦r✉❞téq✉❡❝❡❧r♦❜❛❜✐❧✐♣❛▲✳
26)≈0,85r✉❝✐❛♥❞♦❡✳è♠t✐❡♥✉st❧❡❈ér❛t❛❛ét ♦t❜❡♥✉ à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❧❛
❝❝❧❛✉❧rt❛❝✐✳❡❖♥♣❡✉t❧❡r✐✈é✜r❡❣r❛♣❤q✐✉❡♠❡t♥à❧❛✬❞✐❡❞❡❧❛❝♦✉r❜❡❞❡
❞❡♥s✐té❞❡♣r♦❜❛❜✐✐té❧❛s❡✐rt♦é❛❛❧❧❡✐r❜❛❛❧❛✈é✐à❡❝♦

3−1
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D✿

8
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P❛rt✐❡ ❇
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❣❛r♥❞♣♦✉rs❛❡♥tà❧ér♣♠❡✈è❧✐♠✐❡❝r❡10é❧✐t✐r❛❣❡s❛✈❡t✐❛▲r♣❜♦❜❛r❝♠❡s✐✳❡
q✬✉✉♥❡❧❡ré✈♣r✐s❛✉❤❛s❛r❞❛✐té✉❛t❙é❞❡♣❡✉✐♥✈✐❡st❜❛✉t❝❡✛❡tqé✬❧r❛♣é
0,25❡❞♦♥❝❞❛♥s✉♥s❝❤é♠✳♥❖❡s❧♣❝❛♠èr❛❡str❇❡❞❛♦♥r❡✐❧❧✉❛♣❡❞
❡tp= 0,25❛♥t♥♥♦t✱❡t❡X❡❧é✈❡❞❡r❜♠❡r❡❧♦♥s❧❡♠✐❛r✱♣✉é❝t✛❡s❡
♣r❛qé♣✐✉✬❧❡❞❡❙é❜❛st❡✐♥✱X❡r❡❞✉s❝❝❡t❡❧♦♥❜♠❝♦♠♣❤és❝✳♠❛❞❛ès❝❡♥s
❈❡t♠❛tè❡rs♥❡❧♦❜❞❛t❧❛❛é❧❧❝❛r✐♦❡t✐✐r✉❛s✈❡❡❞❛❧❛r❡♣❜✐♦✐♠✐♥♦
p= 0,25✳
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10
4 6
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4
≈0,15❛r❡♦♥❞✐❛✉❝❡♥t✐è♠

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3−1
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= 1−P(X= 1)−P(X= 0)

10 10
9 10
= 1− ×0,25×0,75− ×0,75
1 0
≈0,76❛♦rt♥è✐✉❛❡❝♥✐❞♠❡

P❛rt✐❡ ❈
❊♥t✐✉❛s❧✐t♥❛❧♦❢❡❧✉♠r❞✉❝♦✱rs✉✉♥❡♥t✐❧✈❛r❧❡❞❡❝♦♥✜❛♥❝❡❛✉♥✐❡✈❛✉❞❡❝♦♥✜❛♥❝❡
❞❡95%❛s♦❝✐é à ❝❡❡t❛✉t✐♥♦✐t❛r❡s✿t✐s
qé❢✉r❡♥❝❡♦❜❡sr❡✈é✉sr❧✬❤❝é❛❧✐t♥♦❧♥❞❡r❧❡❡sé✈t❡

D❞❡♥♥❛✈s❡r✉❡❧♠♦❝s✐s♣r❞❛❡s❧✬♥st❡✐♥✈r❧❛❡❧♣r❡
0,95✳

n= 10
10✱

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1 1
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❜é❙✐ts❛❡♥❛✈t✉✿

27,5

P(3,56D627,5) = P(15,5−126D615,5 + 12)
= P(15,5−2×66D615,5 + 2×6)
= P(µ−2×σ6D6µ+ 2×σ)
≈0,95r❡✐t♠è♦❛❡♥✉❝✐❛♥❞

3−1
3,5m.s❡t

❊♥❡✛❡✱t❛❧r♣♦❜❛✐❜❧✐téq✉❡
[µ−2σ;µ+ 2σ]✈❛✉t❡♥✈✐r♦♥

▲❛✬♠♣✐❧✉t❞❡❞✬✉♥t❡❧✐♥t❡r❧✈❛❡❧st❡

❈s❡✬tà♣❛rt✐r❞❡
❞❡ ❝♦♥✜❛♥❝❡ ❞❡

❊①❡r❝✐❝❡ ✹ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

P❛rt✐❡ ❆
✶✳❛rP❧❡❝✉tr❡r❣❛♣✐❤q✉❡✿
✷✳ ❈♦♠♠❡
✸✳✭❛✮❖♥❤❛✉❤❝❡r❧❛③♦♥❡é❞❝tr❡✐✿

2
√❡✐ré❢♥✐t✐♦s❡❧❧❡✬q✉✉r♣♦❀✉r❡à
n
2√
√<0,1⇐⇒2<0,1×n
n

⇐⇒20< n
2
⇐⇒20< n❝r❛n>0
⇐⇒400< n

400❛✬♣♠✐❧✉t✈❡sé✉q❧❡r❡❧♥✉♥✐❡❞✬❞❧❛❡❧❡t✈r♥✜❛♥❞❡❝♦♥✐✈❡❝❡❛✉✉❛
95%✉♠❡❧✉❞♦❝r✉ssr❡✐❛♥❢ér✐❡✉r❡à✉❛❡♥❜t♦♦r❛❢❝❧✈❡

A♦✐♥♣t✉❡s❡❞♥♦✐①❡✢♥✐✬❞t♥

✭❜✮❖♥♣❡t✉❝♦♠❡t♣r❡✈♥♦r✐♥
❞❛✬❡r✐❞❛♥s❧❛③♦♥❡❤❛❝❤✉✱❡ér♦st✐❡✈♥♦r✐♥
▲✐❡✬ts♠✐t❛♦♥❞❡❧❜✬éé♥st❡✐♥❡❡s♠❜❡❧♣❛s❝♦❡r✳❡t❝

P❛rt✐❡ ❇
✳✶f❞ér✐✈❛❜❧❡s✉rts❡
✉✬❞♥❡♦❢♥❝t♦✐♥❛✣♥❡❡t❞✬✉♥❡❝♦♠♣♦és❡❞❡❡✬❧①♣♦♥❡♥✐t❡❡❧❧♣❛r✉♥❡❢♦♥❝t✐♦♥
❧✐♥é❛✐r✱❡t❡✉♥❡♦❢♥✐t❝♦♥❝♦t♥❛s❡♥t✱t♦✉t❡s❞é✐r❛✈❧❜s❡✉sr❝t❡♥✐t❡❛r❧✈❧✳❡P♦r✉
t♦✉t♥♦❡r❜♠❧❡ér

f(0)≈112❡t

24❧❡✐❧❡s❣❧t❛❞❡❡r♥❛t❝

[0 ; 60]♥❡❛tt♥✉qs❡♠♦❡♠✐✉❞♦r♣❡❧t❢♦✉①❞❡❞❡s✿♦♥t✐♥❝

f(60)≈70✳
Cf❡q✉❡✱♦♥❡♥t✐r

0,1♦✉t✿♥rés♦

0,1✳

′′
f(7) = 0✳

10×20 = 200éts✉✐♥
24×200 = 4800és✐t✉♥❡r✳✬❞✐❛

x∈[0 ; 60]✱f(x) = 70 +u(x)×v(x)✱ ❛✈❡❝ ✿
(

u(x) = 14x+ 42❞♦♥❝u(x) = 14
1x
x
− ′−
v(x) = e❞♦♥❝v(x) =−e
5 5
5

❆✱✐s♥✐♣♦r✉♦tt✉♥♦♠❜❡rér❧❡

❖♥♦t✐❜❡t♥❡✐❜♥❧❡✬①♣rs❡❛♥♦✐t❡♥❞✉❡✳
✷✳✭❛✮❖♥té❞r❡♠✐♥❡❡❧s✈❧❛❡sr✉❛✬❞♥♥♦✐t❛❧✉♥❞❡

❉❡♣✉❧s✱♣♦r✉♦t✉t♥♦♠r❜❡r❡é❧
❡st❞✉♠ê♠❡s❣✐♥❡✉q❡
❛✣♥❡str✐❝t❡♠❡♥té❞✐♦r❝s✳♥❛❡t
❖♥❡♥❡✐rt❡❧t❛❧❜❡❛✉❞❡❣✐s♥s❡❞❡

x

❙❣✐❡♥❡❞

f(x)

✭❜✮❖♥é❞❞✉✐t❞✉❛t❡❧❜❛✉❞❡❣✐s♥s❡❞❡

x

x∈[0 ; 60]✱

′ ′′
f(x) = 0 +u(x)×v(x) +u(x)×v(x)

1
x x
− −
= 14×(14e +x+ 42)× −e
5 5
5

1
x

= e×14−(14x+ 42)
5
5

1 1
x

= e× ×70−(14x+ 42)
5
5 5
1
x

= e(70−14x−42)
5
5
1
x

= (28−14x)e
5
5

0

0


f(x)✿

1
x
′ −
f(x) = 0⇐⇒(28−14x0)e =
5
5
x

5
⇐⇒28−14x= 0♦✉e =0
⇐⇒14x= 28
⇐⇒x= 2

+

x∈[0 ; 60]✱ ♦♥ ❛ ✿
(28−14x)q✉✱st✐❡❡①❧✬❡♣r♦✐s♥♥♥✉✬❞♥♦❢❡♦✐t❝

2

0

2


f(x)✿


f(x)s♥❡❞t❛♦✐❛✈✐r❧❡❛❜❞❡❛✉❡t❧

60

60

1
x

e>0s✐✱✳❆✐♥
5
5


f(x)

f✿

f(2)
V❛r✐❛t✐♦♥s
❞❡f
f(60)
112
❈❛❧❝✉❧s ✿
0
•f(0) = 70 + (14×0 + 42)e= 70 + 42 = 112❀
2
− −0,4
•f(2) = 70 + (14×= 70 + 70e2 + 42)e≈116,92❀
5
60
− −12
•f(60) = 70 + (14×= 70 + 882e60 + 42)e≈70,01✳
5
✳✸▲❛♣❡r♠rè❡✐✐rts♥✉t❝♦✐♥❛ss✐❡✐❞❛♥s❧❡❧♦❣❝✐✐❡❧♣❡♠rt❡❞❡❡té❞♠r♥✐r❡✉♥❡
′′
❡①♣rs✐♦♥❞❡❧❡❡❞♥♦❝❡s❡é✈✐ré❞❛f♦♥t✐♥❝❢♦❧❛❞❡fsr✉[0 ; 60]s❛❝❡❡✱❧t♦♥❞❡
′′
✐r♥✉st✐❝t♦♥❞♦♥♥❡✉♥❡♦❢r♠❡❢❛❝t❡ér♦s✐❞❡f(x)♥❡❞❡♦♥t✐♥❝❢♦x✳
14x
′′ −
❖♥❡♥t❡r✐✉q✱❡♣♦r✉♦tt✉♥♦♠❜r❡❡ré❧x❞❡[0 ; 60]✿f(xe) =×(x−7)✳
5
25

✳✹✭❛✮

❈♦♠♠✱❡✉sr[0 ; 60]✱ ♦♥ ❛ ✿
❝✉❧❡✐❞❡(x−7)✉s❝rt❡❧❡✳❖r✐♥t❡r✈❛❧
❛✣♥❡str❝✐t❡♠❡♥tr❝♦❛s✐q❡t♥✬s✐✉✉♥♥❛❧❡❡♥
′′
❞❡f(x)✿
x0

♥✐❡❣❙❞❡
′′
f(x)

14
x
− ′′
e>0❡❞s❡❧✱❡♥❣✐f(x)q✉t✐❡r❛s❡❡♥✐❞
5
25
(x−7)❡st❧✬❡①♣r❡s❞♥✉✬❡♥♦❢❝♥✐t♥♦✐♦
7❛❡❞✉❛t❧❜❡♥ss❡❣✐❀♦♥r❡❧❡❡♥t✐

7

0

+

60


▲❛❢♦♥t❝♦✐♥f✉❧❡♠❡♥ts✈❡s✐❡ts❡s❡❝t♥♦❛❝✐f(x)60r❞♦sts✉♥❝❧❧❡✱❡✬❧❡
[0 ; 7]✳

▲❛❢♦♥t❝♦✐♥f❡♠❡♥s❡✉❧s✐❡t✈❡①❡❝t♥♦s❡✐stf(x)>0rs✉♥❝❞♦st✬❡❧❡❧❧❡✱
[7 ; 60]✳
❉❡♣✉❧s✱Cf♥❡♥❛❡t❞♠♦♣♥✉❞t♥✐✢♥✐✬♦✐①❡x= 7❝❛rs❛❞ér✐✈❡é❡s♦❝❞♥s❡②✬
❛♥♥❧✉❡❡t❝❤❛♥❣❡❞❡s❣✐♥✳❡
Gs✉r❛❜❧❡✈✐ré❞ts❡[0 ; 60]✣❛♥♦❡♥♦❢❡❡♥♥t✐t❝♥❡✉r♣♥❛qt❞t✉✬❞♦✐✉
t❡❞✉✬♥❡❝♦♠♣sé♦❡❞❡❡✬❧①♣♦♥❡✐t♥❧❡❡❧♣❛r✉♥❡❢♦♥t✐❝♦♥❧✐♥é✱❡r✐❛♦tt✉s❡
✈✐ré❞❛❧❜s❡✉sr❝t❡❡♥t✐❛✈r❧✳❡❧♦Pr✉♦tt✉♥♦♠❜r❡ré❡❧x∈[0 ; 60]✱G(x) =
U(x)×V(x)✱✿✈❛❝❡
(

U(x) =−70x−560❞♦♥❝U(x) =−70
1
x x
− ′−
V(x) = e❞♦♥❝V(x) =−e
5 5
5
❆✐♥s✐✱♣♦r✉♦tt✉♥♦❜♠❡rér❡❧x∈[0 ; 60]✱
′ ′′
G(x) =U(x)×V(x) +U(x)×V(x)
1
x x
− −
=−70×(e +−70x−560)×(−e )
5 5
5

1
x

= e× −70−(−70x−560)
5
5
x

5
= e×(−70 + 14x+ 112)
x

= (14x+ 42)e
5
=g(x)
❖♥❡♥❞é❞t✐✉q✉❡G✉♥str✐❡♣t✐♠✐❞❡✈❡❡g✉rs[0 ; 60]✳
✭❜✮U♥❡✐r♣♠t✐❡✈✐❞❡❛❧♦❢♥❝t♦✐♥x7→70st❧❛❡✐t♥♦♦❢❝♥x7→70x❀ ♦♥ ❡♥
❞é❞✉t✐✉♥❡✐♣r♠✈✐t✐❡❞❡❛❧♦❢♥t❝♦✐♥f✱♥♦té❡F✐✱q✉✐❛♣♦r✉①❡r♣s❡♦♥ ✿
x

5
F(x) = 70x+ (−70x−560)e✳

❝✭✮❖♥❝❧❛❝✉❧❡❧✬t♥❣é✐❛r❡❧à❧❛✬✐❞❡❞❡❧❛♣r✐♠t✐✐✈❡♦❡t❜✉♥❡✿
Z
60
60
f(x) dx= [F(x)]
0
0
=F(60)−F(0)

60 0
− −
= 70×60 + (−70×60−560)e−70×0 + (−70×0−560)e
5 5
−12
= 4200−5604760e +
−12
= 4760−4760esét✐✐❛✬❞r♥❡✉✳