BAC S liban

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• Publié par: E-Orientations
• Publié le: 26 avril 2019
• Nombre de lectures: 2
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Liban 29 mai 2018\

Exercice 1 Commun à tous les candidats

3 points

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le sta ndard téléphonique d’une mutuelle étu diante enregistre un nombre record d’appels. Les appelants sont d’abord mis en attente et entendent une musique d’ambiance et un message pré enregistré. Lors de cette première phase, le temps d’attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable −1 aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλ=.0,02 s Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d’échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoireY, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d’espéranceµ=96 s et d’écarttypeσ=26 s.

1.Quelle est la durée totale moyenne d’un appel au standard téléphonique (temps d’attente et temps d’échange avec le chargé de clientèle) ? 2.Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique. a.Calculer la probabilité que l’étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes. b.onseiller soit inférieur à 90Calculer la probabilité pour que le temps d’échange avec le c secondes. 3.Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d’une minute d’être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette foisci. Le fait de raccrocher puis de rappeler augmentetil ses chances de limiter à 30 secondes l’at tente supplémentaire ou bien auraitelle mieux fait de rester en ligne ?

EXERCICE 2 Commun à tous les candidats

3 points

1.Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i et 1−i. 2.Pour tout entier natureln, on pose

n n S n =(1+i)+(1−i) .

a.Déterminer la forme trigonométrique deS n . b.Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée. Affirmation A: Pour tout entier natureln, le nombre complexeS n est un nombre réel. Affirmation B: Il existe une infinité d’entiers naturelsntels queS n =0.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajec toires de deux sousmarins en phase de plongée. On considère que ces sousmarins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante. À chaque instantt, exprimé en minutes, le premier sousmarin est repéré par le pointS 1 (t) et le se cond sousmarin est repéré par le pointS 2 (t) dans ³ ´ −→−→ −→ un repère orthonormé O,ı,,kdont l’unité est le mètre. ³ ´ −→−→ Le plan défini par O,ı,représente la surface de la mer. La cotezest nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.

1.On admet que, pour tout réelt > 0, le pointS 1 (t) a pour coordonnées :  x(t)=140−60t  y(t)=105−90t  z(t)= −170−30t

a.Donner les coordonnées du sous marin au début de l’observation. b.?Quelle est la vitesse du sousmarin c.On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sousmarin.

Déterminer l’angleαque forme la trajectoire du sousmarin avec le plan horizontal. On donnera l’arrondi deαà 0,1 degré près.

2.Au début de l’observation, le second sousmarin est situé au pointS 2 135 ;(0) de coordonnées (68 ; −68) et atteint au bout de trois minutes le pointS 2 (3) de coordonnées (−202 ;−405 ;−248) avec une vitesse constante. À quel instantt, exprimé en minutes, les deux sousmarins sontils à la même profondeur ?

EXERCICE 4 Commun à tous les candidats On considère, pour tout entiern>0, les fonctionsf n définies sur l’intervalle [1 ; 5J par :

5 points

lnx f n (x)=. n x . Pour tout entiern>0, on noteC n la courbe représentative de la fonctionf n dans un repère ortho gonal. Sur le graphique cidessous sont représentées les courbesC n pournappartenant à {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Liban

0,5

0

0

1

2

2

3

4

5

29 mai 2018

Baccalauréat S

1.Montrer que, pour tout entiern>0 et tout réelxde l’intervalle [1 ; 5] :

A. P. M. E. P.

1−nln(x) ′ f(x)=. n n+1 x 2.Pour tout entiern>0, on admet que la fonctionf n admet un maximum sur l’intervalle [1 ; 5]. On noteA n le point de la courbeC n ayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les pointsA n appartiennent à une même courbeΓd’équation

3.

1 y=ln(x). e a.Montrer que, pour tout entiern>1 et tout réelxde l’intervalle [1 ; 5] :

ln(x) ln(5) 0 6 6 . n n x x b.Montrer que pour tout entiern>1 : Z µ ¶ 5 1 1 1 dx=1−. n n−1 1 x n−1 5 c.Pour tout entiern>0, on s’intéresse à l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface sous la courbef n , c’estàdire l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équationsx=1, x=5,y=0 et la courbeC n . Déterminer la valeur limite de cette aire quandntend vers+∞.

EXERCICE 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante : 1 •Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est ; 4 1 •;Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est 2 1 •.La probabilité de gagner la première partie est 4 e Pour tout entier naturelnnon nul, on noteG n l’évènement « lanpartie est gagnée » et on notep n la 1 probabilité de cet évènement. On a doncp 1 =. 4

7 1.Montrer quep 2 =. 16 1 1 2.Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul,p n+1 = −p n +. 4 2 3.On obtient ainsi les premières valeurs dep n :

n p n

1 0,25

2 0,437 5

3 0,390 6

4 0,402 3

5 0,399 4

6 0,400 1

7 0,399 9

Quelle conjecture peuton émettre ? 2 4.On définit, pour tout entier naturelnnon nul, la suite (u n ) paru n =p n −. 5 a.Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. µ ¶ n−1 2 3 1 b.En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul,p n = − −. 5 20 4

Liban

3

29 mai 2018

Baccalauréat S

¡ ¢ c.La suitep n ce résultat.convergetelle ? Interpréter

EXERCICE 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de réels (a n ) par :  a 0  a 1  a n+1

= = =

On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

0 1 a n +a n−1 pourn > 1.

A. P. M. E. P.

5 points

1.Recopier et compléter l’algorithme cidessous pour qu’à la fin de son exécution la variableA contienne le termea n .

1 2 3 4 5 6 7

A←0 B←1 Pouriallant de 2 àn: C←A+B A←. . . B←. . . Fin Pour

On obtient ainsi les premières valeurs de la suitea n :

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 µ ¶ 1 1 2.Soit la matriceA=. 1 0 2 3 4 CalculerA,AetA. µ ¶ 8 5 5 Vérifier queA=. 5 3 3.On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturelnnon nul, µ ¶ a a n n+1n A=. a n a n−1 p q a.Soitpetqdeux entiers naturels non nuls. Calculer le produitA×Aet en déduire que

4.

Liban

a p+q =a p ×a q+1 +a p−1 ×a q .

b.En déduire que si un entierrdivise les entiersa p eta q , alorsrdivise égalementa p+q . c.Soitpun entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence surn, que pour tout entier naturel nnon nul,a p divisea np .

a.Soitnun entier supérieur ou égal à 5. Montrer que sinest un entier naturel qui n’est pas premier, alorsa n n’est pas un nombre premier. b.On peut calculera 19 =4 181=37×113. Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?

4

29 mai 2018