BAC S metropole

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• Publié par: E-Orientations
• Publié le: 26 avril 2019
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• Langue: Français

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[Baccalauréat S Métropole–La Réunion 13 septembre 2018\

Exercice 1 Commun à tous les candidats

4 points

er er Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1 janvier 2000 et le 1 jan vier 2010 afin d’évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe. er er Au 1 janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d’une connexio n internet fixe et, au 1 janvier 2010, 64 % des ménages l’étaient. Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :

1 g(t)=, −at 1+ke oùketasont deux constantes réelles positives et la variabletdésigne le temps, compté en années, er écoulé depuis le 1 janvier 2000.

1 64 1.Déterminer les valeurs exactes deket deapour queg(0)=etg(10)=. 8 100 2.Dans la suite, on prendrak=7 eta=0, 25. La fonctiongest donc définie par :

3.

1 g(t)= ¡ ¢ . t − 4 1+7e a.Montrer que la fonctiongest croissante sur l’intervalle [0 ;+∞[. b.% des ménages deSelon cette modélisation, peuton affirmer qu’un jour, au mo ins 99 cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.

a.Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d’une er connexion internet fixe au 1 janvier 2018. b.ins statisticiens pensentCompte tenu du développement de la téléphonie mobile, certa que la modélisation par la fonctiongde l’évolution de la proportion de ménages possé dant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l’année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1 000 foyers, 880 étaient équipés d’une connexion fixe. Ce sondage donnetil raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.)

Exercice 2 5 points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ;u,v. On prendra pour unité graphique le centimètre. ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 1.Résoudre dansCl’équationz−2z+4z+4=0. p 2.On considère les points A et B d’affixes respectivesz A =1+eti 3 z B =2i. a.Écrirez A etz B sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

A. P. M. E. P.

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A. P. M. E. P.

b.Faire une figure et placer les points A et B. ³ ´ −→−→ c.Déterminer une mesure de l’angle OB .OA , 3.On note F le point d’affixez F =z A +z B . a.Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange. ³ ´ ³ ´ −→−→−→−→ b.En déduire une mesure de l’angle OA , OF puis de l’angleu, OF . c.Calculer le module dez F et en déduire l’écriture dez F sous forme trigonométrique. d.En déduire la valeur exacte de :

µ ¶ 5π cos . 12 4.Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l’une : p p µ ¶ 5π2−3 cos= 12 2 et pour l’autre :

p p µ ¶ 5π6−2 cos=. 12 4 Ces résultats sontils contradictoires ? Justifier la réponse.

Exercice 3 Commun à tous les candidats

6 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule d’entre elles est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Il est attribué1, 5point par réponse correcte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de r éponse incorrecte.

Question 1 ³ ´ −→−→ −→ Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O ;ı,,k, on considère la droite (D) de repré  x=2+t  sentation paramétrique y=1−3t (t∈R), et le plan (P) d’équation cartésiennex+y+z−3=0.  z=2t On peut affirmer que :

Réponse A :la droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles. Réponse B :la droite (D) est incluse dans le plan (P). Réponse C :la droite (D) et le plan (P) se coupent au point de coordonnées (4 ;−4).5 ; Réponse D :la droite (D) et le plan (P) sont orthogonaux.

Question 2

Dans le rayon informatique d’une grande surface, un seul vendeur est présent et les clients sont nom breux. On admet que la variable aléatoireT, qui, à chaque client, associe le temps d’attente en minutes pour que le vendeur soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètreλ.

Métropole

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

Le temps d’attente moyen est de 20 minutes. Sachant qu’un client a déjà attendu 20 minutes, la probabilité que son attente totale dépasse une demiheure est : 1 3 − − 2 2 Réponse A :eRéponse B :e 1 − − 10λ 2 Réponse C :1−eRéponse D :1−e

Question 3

Une usine fabrique des balles de tennis en grande quantité. Pour être conforme au règlement des compétitions internationales, le diamètre d’une balle doit être compris entre 63, 5 mm et 66, 7 mm. On noteDla variable aléatoire qui, à chaque balle produite, associe son diamètre mesuré en milli mètres. On admet queD1 et d’écart typesuit une loi normale de moyenne 65, σ. On appellePla probabilité qu’une balle choisie au hasard dans la production totale soit conforme. L’usine décide de régler les machines de sorte quePsoit égale à 0, 99. La valeur deσ, arrondie au centième, permettant d’atteindre cet objectif est :

Réponse A :

Question 4

0,69

Réponse B :

2,58

Réponse C :

0,62

Réponse D :

0,80

La courbe cidessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonctionf définie par :

2,0

1,5

1,0

0,5

0

0

0,5

4x f(x)=. 2 x+1

1,0

a

1,5

2,0

2,5

La valeur exacte du réel positifatel que la droite d’équationx=apartage le domaine hachuré en deux domaines d’aires égales est : s r p 3 p 10 Réponse A : Réponse B :5−1Réponse C :ln 5−0, 5sRéponse D : 2 9

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Baccalauréat S

Exercice 4 Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

A. P. M. E. P.

5 points

1 3 2 f(x)=x−x+. 2 2 Soitaun réel positif. On définit la suite (u n ) paru 0 =aet, pour tout entier natureln:u n+1 =f ( u n ). Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite (u n ) lorsquentend vers+∞, suivant différentes valeurs de son premier termeu 0 =a.

1.À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (u n ) lorsquentend vers+∞, poura=puis pour2, 9 a=3, 1. 2.Dans cette question, on suppose que la suite (u n ) converge vers un réelℓ. 1 3 1 3 2 2 a.En remarquant queu=u n+1 n −u n +, montrer queℓ=ℓ−ℓ+. 2 2 2 2 b.Montrer que les valeurs possibles deℓsont 1 et 3. 3.Dans cette question, on prenda=2, 9. a.Montrer quefest croissante sur l’intervalle [1 ;+∞[. b.Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a : 1 6 u n+1 6 u n . c.Montrer que (u n ) converge et déterminer sa limite. 4.Dans cette question, on prenda=et on admet que la suite (3, 1 u n ) est croissante. a.À l’aide des questions précédentes montrer que la suite (u n ) n’est pas majorée. b.En déduire le comportement de la suite (u n ) lorsquentend vers+∞. 6 c.L’algorithme suivant calcule le plus petit rangppour lequelu p >10 . Recopier et compléter cet algorithme. Pest un nombre entier etUest un nombre réel.

P←0 U. . . . . .

Tant que . . . P←. . . . . . U←. . . . . . Fin Tant que

Exercice 4 Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite (u n ) définie par :u 0 =1,u 1 =6 et, pour tout entier natureln:

1.Calculeru 2 etu 3 .

Métropole

u n+2 =6u n+1 −8u n .

4

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13 septembre 2018

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

µ ¶ µ ¶ 0 1u n 2.On considère la matriceA=et la matrice colonneU n =. −8 6u n+1 Montrer que, pour tout entier natureln, on a :U n+1 =AU n . µ ¶ µ ¶ 2−0, 5−1 0, 5 3.On considère de plus les matricesB=etC=. 4−1−4 2 n n n a.Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :A=2B+4C. n b.On admet que, pour tout entier natureln, on a :U n =A U 0 . n n Montrer que, pour tout entier natureln, on a :u n =2×4−2 .

Partie B

On dit qu’un entier naturelNest parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à 2N. Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : 1+2+3+6=12=2×6. Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite (u n ) étudiée dans la partie A.

n n+1 1.Vérifier que, pour tout entier natureln, on a :u n =2p n avecp n =2−1. 2.On considère l’algorithme suivant oùN,S,U,PetKsont des entiers naturels.

S←0

Demander à l’utilisateur la valeur deN N+1 P←2−1 N U←2P

PourKvariant de 1 àU U Si est un nombre entier K S←S+K Fin Si Fin Pour

SiS=2U Afficher « oui » Sinon Afficher « non » Fin Si

a.?À quelle question permet de répondre cet algorithme Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n’est pas de mandé au candidat de programmer l’algorithme. b.Faire une conjecture donnant une condition suffisante surPpour que l’algorithme affiche « oui ».

3.Dans cette question, on suppose quep n est un nombre premier. On noteS n la somme des diviseurs deu n . ¡ ¢ a.Montrer queS n =1+p n p n . b.En déduire queu n est un nombre parfait.

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Baccalauréat S

N 0 1 2 3 4 5 6

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Annexe à remettre avec la copie

Exercice 4

Affichage de l’algorithme pour les premières valeurs deN

P 1 3 7 15 31 63 127

U 1 6

8 128

6

S 1 12

360 992 6 552 16 256

A. P. M. E. P.

Affichage final non oui

oui non

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