CAPES Mathématiques

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
CAPES Mathématiques 2011-2012 Liste d'exercices de probabilités Exercice 1 On jette 3 dés équilibrés. 1. Donner le triplet (?, T , P ) correspondant. 2. Calculer la probabilité des événements suivants: (a) A = on obtient au moins un as, (b) B = on obtient au moins deux faces portant le même chiffre, (c) C = la somme des points marqués est paire. 3. Montrer que les deux événements B et C sont indépendants. Exercice 2 On dispose au hasard n = 20 livres sur une étagère rectiligne. Trois de ces livres sont d'un même auteur A et les autres livres sont tous d'auteurs différents. 1. Donner le triplet (?, T , P ) correspondant à cette expérience. 2. Calculer la probabilité que les 3 livres de l'auteur A soient côte à côte. Exercice 3 On jette 2 dés équilibrés: un dé noir et un dé rouge. On note: A = le chiffre noir est pair, B = le chiffre rouge est impair, C = les deux chiffres ont même parité. 1. Donner le triplet (?, T , P ) correspondant à cette expérience. 2. Montrer que A, B et C sont deux à deux indépendants.

• théorème sur les sommes de riemann


• discrètes infinies suivant des lois de poisson


• boule


• lot de pièces


• bille au hasard


• xn de loi binomiale

Informations

• Publié par: profil-meshug-2012
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• Langue: Français

Extrait

CAPES

Exercice 1 On jette 3 ds quilibrs.

Mathmatiques

Liste d’exercices de probabilitÉs

1. Donner le triplet(Ω,T, P)correspondant.

2. Calculer la probabilit des vnements suivants:

(a) A = "on obtient au moins un as", (b) B = "on obtient au moins deux faces portant le mme chiffre", (c) C = "la somme des points marqus est paire".

3. Montrer que les deux vnements B et C sont indpendants.

Exercice 2 On dispose au hasardn= 20livres sur une tagre rectiligne. Trois de ces livres sont d’un mme auteur A et les autres livres sont tous d’auteurs diffrents.

1. Donner le triplet(Ω,T, P)correspondant À cette exprience.

2. Calculer la probabilit que les 3 livres de l’auteur A soient cÔte À cÔte.

2011-2012

Exercice 3 On jette 2 ds quilibrs: un d noir et un d rouge. On note: A = "le chiffre noir est pair", B = "le chiffre rouge est impair", C = "les deux chiffres ont mme parit".

1. Donner le triplet(Ω,T, P)correspondant À cette exprience.

2. Montrer que A, B et C sont deux À deux indpendants.

3. Montrer que A, B et C ne sont pas mutuellement indpendants.

Exercice 4 Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires. On tire successivement 3 boules sans remise.

1. Quelle est la probabilit d’obtenir les 3 boules blanches ?

2. Quelle est la probabilit d’obtenir une boule noire au 2me tirage ?

Exercice 5 On considre un lot de pices dans lequel la proportion de pices dfectueuses est 0.05 . Le contrÔle de fabrication est tel que:

•si la pice est bonne, elle est accepte avec probabilit 0.96,

•si la pice est mauvaise, elle est refuse avec probabilit 0.98.

On choisit une pice au hasard dans le lot et on la contrÔle. 1. Quelle est la probabilit qu’il y ait une erreur de contrÔle ? 2. Quelle est la probabilit qu’une pice accepte soit mauvaise ?

Exercice 6 Chaque semaine, sur 100 billets de loterie,ksont gagnants (k≤90billet coÛte 1 euro et on dispose). Un de 10 euros. Deux stratgies sont possibles: la premire est d’acheter 10 billets en une seule fois, et la deuxime est d’acheter un billet À la fois pendant 10 semaines. Quelle est la meilleure stratgie pour obtenir au moins un billet gagnant ?

Exercice 7 Une urne contientbboules blanches etrboules rouges. On tire successivementnboules en remettant la boule aprs tirage si elle est rouge et en ne la remettant pas si elle est blanche. Quelle est la probabilit d’obtenir exctement une boule blanche enntirages ?

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Exercice 8 1 SoitXune variable alatoire de loiB(3,). Reprsenter le graphe de la fonction de rpartitionFdeX. 2

Exercice 9 Dterminer la loi de probabilit, l’esprance et l’cart-type de la variable alatoire dont la fonction de rpartitionFest dfinie par :  0sit <1   1 si1≤t <2 5 F(t) = 4 si2≤t <3  5  1sit≥3

Exercice 10 (approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson)   ∗ λ Soit(X n ) n∈N une suite de variables alatoires, avec pour toutn∈N,X n de loi binomialeBn,. ∗ n k − λ λ Montrer que pour toutk∈NP(X n =k)→e k! n→+∞

Exercice 11 SoitX 1 etX 2 deux variables alatoires indpendantes À valeurs dans{−1; 1}vrifiant:

1 1 P(X 1 =−1) =P(X 2 =−1) =etP(X 1 = 1) =P(X 2 = 1) = 2 2 SoitX 3 =X 1 X 2 la loi de. Dterminer X 3 . Montrer queX 1 ,X 2 etX 3 sont deux À deux indpendantes, mais pas mutuellement indpendantes.

Exercice 12 On tirenboules sans remise dans une urne qui en contientNnumrotes de1ÀN(n≤N). On considre XetYle plus petit et le plus grand nombre obtenu. Dterminer les lois deXetY.

Exercice 13 SoitXetYdeux variables alatoires dfinies sur le mme espace probabilis(Ω,A, P), indpendantes, de mme loi uniforme surE={0,1, . . . , n}. SoitZetTles variables alatoires dfinies par:

1.

Z=|X−Y|

et

T= inf(X, Y)

(a) Justifier l’existence des moments de tous ordres deZetT. n(n+2) (b) Montrer queE(Z) =. 3(n+1) (c) En dduireE(T)et en donner un quivalent lorsquentend vers l’infini.

∗ 2. SoitUune variable alatoire À valeurs dansN, telle qu’il existeK∈Nvrifiant:0≤U≤K. P K (a) ExprimerP(U≥j)en fonction de l’espranceE(U). j=1 P K 2 2 3 (b) Calculer de mmej P(U≥j)en fonction deE(U),E(U)etE(U). j=1 3. (a) Calculer pour toutj∈N, la probabilitP(T≥j). (b) En utilisant 2.(a), retrouver la valeur deE(T).

2 4. CalculerE(Z)en fonction de la varianceV(X).

Exercice 14 Soit(Ω,T, P)un espace probabilis et soitX: Ω→Rune variable alatoire relle vrifiantX(Ω)⊂N.

n n−1 P P ∗ 1. Montrer que, pour toutn∈N:kP(X=k) =P(X > k)−nP(X > n). k=0k=0

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2. On suppose que la variable alatoireXadmet une esprance noteE(X). +∞ P Montrer que, pour toutn∈N,0≤nP(X > n)≤kP(X=k). k=n+1 +∞ P En dduire que la srie de terme gnralP(X > n)converge et que:P(X > n) =E(X). n=0 3. On suppose que la srie de terme gnralP(X > n)que la srie de terme gnralconverge. Montrer kP(X=k)converge et queXadmet une esprance.

4. Ènoncer le thorme qui vient d’tre tabli.

Exercice 15 Dans tout l’exercice,Xest une variable alatoire suivant la loi de Poisson de paramtreλ >0.

1. Une premire ingalit.

1 (a) Montrer queP(|X−λ| ≥λ)≤. λ 1 (b) En dduire l’ingalit (∗) :P(X≥2λ)≤. λ 2. Premire amlioration de l’ingalit (∗).

(a) SoitYune variable alatoire discrte, À valeurs positives et ayant une esprance. On noteY(Ω) ={y 0 , y 1 , . . . , y n , . . .}. E(Y) Montrer, en minorantE(Y), que :∀a >0, P(Y≥a)≤. a 2 (b) On considre une variable alatoire discrteZ, d’esprance nulle et de varianceσ. Montrer que, pour tout couple(a, x)de]0,+∞[×R + :   2 2 P(Z≥a)≤P(Z+x)≥(a+x)

2 (c) En appliquant l’ingalit obtenue en2.aÀ la variable alatoire(Z+x), montrer que :

∀a >0,

∀x≥0,

2 2 σ+x P(Z≥a)≤ 2 (a+x)

2 σ (d) En dduire que :∀a >0, P(Z≥a)≤. 2 2 σ+a 2 2 σ+x (On pourra tudier la fonctionfqui, À toutxdeR + , associe ). 2 (a+x) 1 (e) Utiliser cette dernire ingalit pour montrer que :P(X≥2λ)≤. λ+ 1 3. Deuxime amlioration de l’ingalit (∗). +∞ X k Pour tout relt, on poseG X (t) =P(X=k)t. k=0

λ(t−1) (a) Justifier l’existence deG X (t)et montrer que :G X (t) =e. G X (t) (b) Montrer que :∀t∈[1,+∞[,∀a >0, P(X≥a)≤ a t t−1 e (c) Dterminer le minimum sur[1,+∞[de la fonctiong:t7→. 2 t   λ e (d) En dduire que :P(X≥2λ)≤. 4 (e) Montrer que cette dernire amlioration est meilleure que celle obtenue À la question2.eds queλprend des valeur assez grandes.

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Exercice 16 On considre une urne contenantnboules numrotes portant des numros deux À deux distincts. Un premier joueur effectue dans l’urne des tirages sans remise jusqu’À ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numro. On noteX 1 le nombre de tirages effectus par ce joueur. S’il reste des boules dans l’urne, un deuxime joueur effectue la mme exprience (c’est-À-dire qu’il effectue des tirages sans remise jusqu’À obtenir la boule de plus grand numro parmi celles prsentent au moment oÙ il entre en jeu). On noteX 2 le nombre de tirages effectus par ce second joueur (nombre qui vaut ventuellement0).

1. Donner la loi, l’esprance et la variance deX 1 .

2. Donner la loi deX 2 conditionne parX 1 .

3. Calculer l’espranceE(X 2 )sans dterminer la loi deX 2 . n−1 P 1 1 4. Dduire du2.que pour1≤k≤n−1,P(X 2 =k) =, puis donner la loi deX 2 . Retrouver n i i=k alors la valeur deE(X 2 ).

Exercice 17 ∗ Soitp∈N. On considrep+ 1urnes notesU 0 , U 1 , . . . , U p . Dans chaque urne, il y apboules indiscern- ables au toucher. Dans l’urneU i , il y aiboules blanches etp−iOn choisit une urne auboules noires. ∗ hasard, puis on effectue dans cette urnentirages avec remise (n∈N). On noteN p le nombre de boules blanches obtenues. On note, pour touti∈ {0,1, . . . , p},U i l’vnement "l’urneU i est choisie".

1. CalculerE(N p )avec la formule de l’esprance totale et le systme complet d’vnements(U 0 ,U 1 , . . . ,U p ).

2. Soit0≤k≤n.

(a) ExprimerP(N p =k)À l’aide de la formule des probabilits totales (et le systme complet d’vnements(U 0 ,U 1 , . . . ,U p )).   R n 1 k n−k (b) Montrer que limP(N p =k) =x(1−x)dx. 0 p→+∞ k (Indication: utiliser le thorme sur les sommes de Riemann) (c) Calculer cette limite et vrifier que limP(N p =k) =P(X=k)oÙXsuit la loiU({0,1, . . . , n}). p→+∞

Exercice 18 2 λetpdsignent deux rels tels queλ >0et0< p <1. On considre le couple(X, Y)À valeurs dansN de loi dfinie par:

P([X=n]∩[Y=k])

P([X=n]∩[Y=k])

=

=

n−λ k n−k λ e p(1−p) k!(n−k)! 0sinon.

si0≤k≤n,

2 1. Vrifier que la relation ci-dessus dfinit bien une loi de probabilit surN.

2. Dterminer la loi de la variableX, puis celle deYvariables. Les XetYsont-elles indpendantes ?

3. Dterminer la loi conditionnelle deYsachantX=n.

4. SoitZla variable alatoire dfinie parZ=X−Yla loi de. Dterminer Z.

5. Les variablesYetZsont-elles indpendantes ?

Application :Pour une certaine race de mammifres, À chaque loi de Poisson de paramtre 5. La probabilit pour qu’un petit nombre de femelles par porte.

porte, le nombreXde soit une femelle est 0,6.

1. Quelle est la loi deYconditionnellement ÀX=n? En dduire la loi de(X, Y).

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petits suit une On noteYle

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2. Sachant qu’une porte est constitue de 7 petits, quelle est la probabilit qu’il y ait 4 máles et 3 femelles ?

3. Quelle est la probabilit pour qu’une mre donne naissance dans une mme porte À trois máles exactement ?

Exercice 19 Un sac contientnbilles numrotes de1Àntire une bille au hasard, on note son numro et on la. On remet dans le sac. On appelleXLorsque ce numro estla variable alatoire qui prend pour valeur ce numro. k, on tire sans remisekbilles que l’on distribue au hasard danspboïtesB 1 , . . . , B p . On dsigne parY i la variable alatoire gale au nombre de billes reÇues par la boïteB i (i∈ {1, . . . , p}).

1. Dterminer la loi du couple(X, Y i )pouri∈ {1, . . . , p}. (par dÉterminer laIndication: Commencer loi marginale deXet la loi conditionnelle deY i sachant[X=k]). 2. (a) Calculer l’esprance deY i sans dterminer sa loi. (b) Dterminer la loi deY i , puis retrouver la valeur deE(Y i ). Y i 3. Dterminer l’esprance de la variable alatoire . X 4. Quelle est la loi du vecteur alatoire(Y 1 , . . . , Y p )?

Exercice 20 (Couple de v.a.r. discrÈtes infinies suivant des lois de Poisson) Soient(X, Y)un couple de variables alatoires dfinies sur un espace probabilis(Ω,A, P)dont la loi est donne par: i 2 2 2 (X, Y=) (Ω) Net∀(i, j)∈N, P([X=i]∩[Y=j]) =c(∗) i!j! oÙcest un nombre rel.

1. Dterminercpour que(∗)dfinisse bien une loi de couple.

2. Dterminer les lois marginales deXetY.

3. SoitZla variable alatoire relle dfinie parZ=X+Y.Montrer gráce À la formule de transfert queZadmet une esprance. CalculerE(Z)en utilisant la formule de sommation par paquets.

4. Dterminer la loi deZ.

5.XetYRetrouver alors tous les rsultats prcdents sans calcul.sont-elles indpendantes ?

6. DterminerCov(X, Z).

Exercice 21 On considre deux variables alatoires rellesX 0 etX 1 dfinies sur le mme espace probabilis(Ω,A, P), indpendantes et de mme loi. Pour toutωdeΩ, on considre le polynÔmeQ ω d’indterminey, dfini par : 2 Q ω (y) =y+X 1 (ω)y+X 0 (ω) On dsigne parM(ω)le nombre de racines relles deQ ω .

1. Montrer que l’applicationMqui, À toutωdeΩassocieM(ω), est une variable alatoire sur(Ω,A, P).

2. SoitZune variable alatoire sur(Ω,A, P), qui suit une loi de Bernoulli de paramtrep(p∈]0,1[). On suppose dans cette question queX 0 etX 1 suivent la mme loi que2Z−1. (a) Dterminer la loi deX 0 . (b) Dterminer la loi deMet calculer son espranceE(M).

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Dans les questions suivantes, on suppose queX 0 etX 1 suivent une mme loi exponentielle de paramÈtre1/2. 2 , Y+Y, et on noteFF , , etF, les fonctions de On pose :Y 0 =−4X 0 , Y 1 =X 1 Y= 1 0Y 0 Y 1 Y rpartition deY 0 ,Y 1 etY, respectivement.

3. Montrer que l’on a, pour toutxrel

F Y 1 (x)

F Y 0 (x)

= = = =

√ −x/2 1−e 0 1 x/8 e

six >0 six≤0 six≥0 six <0

En dduire l’expression d’une densitf Y 0 deY 0 et d’une densitf Y 1 deY 1 .  1  t √  1 ∗ 4. Soitgla fonction dfinie surRparg(t) = √ × exp−+t, oÙexpdsigne la fonction + t 2 4 exponentielle. Z +∞ (a) Ètablir la convergence de l’intgrale impropreg(t)dt. 0 (b) En dduire qu’une densitf Y de la variable alatoireYest donne, pour toutxrel, par : ( R +∞ 1 x/8 e g(t)dtsix <0 32 0 R f Y (x) = +∞ 1 x/8 e g(t)dtsix≥0 32 x

5. On dsigne parΦla fonction de rpartition d’une variable alatoire qui suit la loi normale centre rduite. Z +∞ √ (a) Justifier la validit du changement de variableu=tdans l’intgrale impropreg(t)dt. 0 Z Z +∞+∞ √ 2 −v /2 (b) En dduire queg(t)dt= 4e e dv, et donner, pour tout relxngatif, l’expression 0 1 def Y (x)en fonction deΦ. √ √ h i   2πe x x/8 (c) Montrer que, pour tout relxpositif, on a :f Y (x) =e1−1Φ + . 8 2 (d) Dterminer la loi deMet son espranceE(M)(on fera intervenir le nombreΦ(1).

Exercice 22 SoitXune variable alatoire relle dont la fonction de rpartitionF X est dfinie surRpar:  −x 5 1− six >0 2 F X (x) = x 5 six≤0. 2 Montrer queXest une variable alatoire relle À densit et dterminer une densitf X deX.

Exercice 23 SoitXde densitune v.a.

f(x)

oÙθest un paramtre strictement positif.

1. Vrifier quefest une densit.

= =

2 −θx 2θxe 0

six >0, sinon,

2. Dterminer la fonction de rpartitionFde la variable alatoireX.

3. Calculer l’esprance et la variance deX.

2 4. SoitYla variable alatoire dfinie parY=θX. Quelle est la loi deY?

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