Capes Sujet Enonce

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Capes 2001 - Sujet 1 - Enonce Notations et objet du probleme On designe par : – N l'ensemble des entiers naturels; – N? l'ensemble des entiers naturels non nuls; – Q le corps des nombres rationnels; – R le corps des nombres reels; – R+ le sous-ensemble de R constitue des nombres reels positifs ou nuls; – R+? le sous-ensemble de R constitue des nombres reels strictement positifs; – C(R+) l'espace vectoriel des fonctions continues de R+ dans R. Pour tout reel x, on note [x] la partie entiere de x. On rappelle que c'est l'unique entier relatif defini par : [x] ≤ x < [x] + 1. Dans la premiere partie, on etudie l'equation fonctionnelle f(x + y) = f(x)f(y) sur R+. Cette equation fonctionnelle est utilisee pour donner une caracterisation des variables aleatoires dites sans memoire dans la partie III. Dans la partie II, on etudie quelques proprietes du noyau de convolution des fonctions continues sur R+. Le produit de convolution intervient dans l'etude de variables aleatoires dans la partie III. Les trois dernieres parties sont consacrees a la modelisation probabiliste d'un probleme de reception de messages pour un reseau informatique. Dans les parties IV et V, on etudie le comportement asymptotique d'une suite de maximum de variables aleatoires independantes suivant une meme loi de Poisson.

• loi exponentielle de parametre ?


• variable aleatoire


• majoree sur l'intervalle


• temps d'attente pour le reseau


• meme loi exponentielle de parametre


• reelle definie

Sujets

• Variable aléatoire

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Extrait

Lyc´eeBrizeux

Mathe´matiques

DevoirdeMathe´matiques9 mercredi 1 juin 2011

PCSI 2010-2011

Remarquesge´ne´rales: •Led´euraderpe´’leedtseevuquatre heures. •´V.elesujeterifiezqugap4unsepmocetrodeesa41`erm´´eot •itcal;noocseseiptitaetonla`aedr´peulisiblesvntietissueˆoVunearterappo´e`alucitrapnoitnettenesr´apale`eri` oumalpre´sente´esserontsanctionne´es.dsunobnUstniop2ee´tn.seseibocipe´esnerpattrseraeauxibu´ •uvreouevelsdep’´uaiSruoceuneerrembleˆetrczqeiuesrspee´erurzsrelenaigessluov,e´cnone´’drueicepoovrt etpoursuivrezvotrecompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquevousaveze´te´amen´e`aprendre.

L’utilisationd’unecalculatriceoud’unte´l´ephoneportableestinterdite.

Questions de cours

1.Donnerlade´finitiondeformebilin´eairesurunR−espace vectorielEudorcstillecpede´endiltaaial.Orerpaulies lad´efinitiondechaquetermeemploye´. n0 2. Donnerun exemple de produit scalaire surRet surC([−1,1],R).nne’tsedamdne´.eucunejustificatioA

Exercice1.Uncalculd’inte´grale 2 x 1.D´etermineruneprimitivesurRdex7→susuleelncfoontiia’leded.sa` 2 1 +x 2 x b Indication:´ecrireuneidentit´edelaforme 2 =a+ 2 ∙ 1+x1+x Z π 2 1−cos(θ) 2.Justifierl’existencedel’inte´graleI=dθet calculer sa valeur exacte. 1 + cos(θ) 0 Rappels.Pour toutθ∈]−π, π[: 2 θ θ 1−tan( )tan () 2 2 2 cos(θ) =etsin(θ) = 2 θ 2 θ 1 + tan( )1 + tan( ) 2 2

Proble`me1.Calculdel’inte´graledeDirichlet Z Z +∞x sintsint π de´f Teaser.liabuerqtdeset’´bo’Lepectdjeme`eblrodt:= limdt=∙ x→+∞ t t2 0 0 Onconside`relesfonctionsf(fonction sinus cardinal) etgsuivantes : ∗ π f:R→Rg: ]0,]→R + 2 sint1 1 . t7→t7→ − t tsint Leprobl`emesede´composecommesuit: R x •La partie I porte sur les fonctionsfetg; de plus, on y montre quex7→f(t)dtexiste pour toutx≥0. 0 •Laaale`mmleunlbtie´ateiIIaptr«Riemann-Lebesgue». •iriaesLII´etudiapartieIetasxulideuesxiu(U n ) n∈N et(V n ) n∈N . •orpedtub.eme`lbapaLeitrtnerVIomseluel´rnnontatand´ec´ee

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Math´ematiques

PCSI 2010-2011

´ Partie I. Etude des fonctionsfetg 1.Etude de la fonctionf. (a) Montrerquefest continue sur]0,+∞[itnotiunegnocrapproletseen´e0. Lafonctionainside´finiesur[0,+∞[encorenot´eeestfdans la suite. Z x 1 (b)Ende´duirequepourtoutx≥0inl’ge´telarf(t)dtelesidree´utupsinied´efibienesturnsioatrivadens 0 Z x [0,+∞[deF:x7→f(t)dt. 0 2.Etude de la fonctiong. π (a) Montrerquegest continue sur]0,]it´etinuenlonoesrpcrnoegapet0. 2 Indication.´eurbltaitimpo´euqrielove´endtlenemppUuresilitg(t)∼λt, avecλpr´ecise.r`a + t→0 π Lafonctionainsid´efiniesur[0,]ee´tonerocnetsegdans la suite. 2 Z π 2 (b) Justifierqueg(t)dtexiste. 0 1 π 01 π (c) Montrerquegest de classeCsur]0,]puis calculerg(t). Montrer enfin quegest de classeCsur[0,]. 2 2

PartieII.Unlemme`alaRiemann-Lebesgue

1 Danscettepartieonconside`reunintervalle[a, b](a < b) et une fonctionϕ: [a, b]→Rde classeC. Pour toutm∈N, Z b imt on posel m =ϕ(t)e dt. a 0 0 3. Justifierqueϕetϕontbseessorn´ru[a, b]. On note respectivementM 0 etM 1 elrse´lessup|ϕ|etsup|ϕ|. [a,b] [a,b] 4.Al’aided’uneint´egrationparpartie,montrerquepourtoutm >0on a 2M 0 + (b−a)M 1 |l m ∙| ≤ m 5.Ende´duireque(l m ) m est une suite convergente; donner sa limite. Z b 1 6. Montrerque pour toute fonctionϕ: [a, b]→Rde classeCnous avonslimϕ(t) sin(mt)dt= 0. m→+∞ a

Partie III. Etude de deux suites

Onconsid`erelessuites(U n ) n∈N et(V n ) n∈N ´dfieinseerpsceitvementpar: Z Z π π sin((2n+ 1)t) sin((2n+ 1)t) 2 2 U n =dt;V n =dt. sint t 0 0 7.Etude de la suite(U n ) n . Z π 2 sin((2n+ 1)t) (a)Justifierl’existencedel’int´egraledt. sint 0 (b) CalculerU 0 . ∗ (c) Soitn∈N.Montrer quesin((2n+ 1)t)−sin((2n−1)t) = 2 sin(t) cos(2n t)pour toutt∈R. ` ∗ (d)Ende´duirequeU n =U n−1 pour toutn∈N.tse´aglAqieuolimU n ? n→+∞ 8.Etude de la suite(V n ) n . Z π 2 sin((2n+ 1)t) (a)Justifierl’existencedel’inte´graledt. t 0 ` (b)Al’aidedure´sultatdelaquestion6montrerquelimV n −U n = 0. n→+∞ (c)Ende´duirelimV n . n→+∞ R R x x sint 1.Parde´finition,dta`gelaro´stnla´etaf(t)dt. t 0 0

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Partie IV. Conclusion Z π (2n+1) sint 2 9. MontrerqueV n =dt. t 0 π 10. Soitn∈N.Montrer que pour toutx≥(2n+ 1) 2 Z x sint1 dt≤. π  t  (2n+ 1) π (2n+1) 2 2

PCSI 2010-2011

11.End´eduireque Z x sint π limdt=∙ t2 x→+∞ 0 Z x   2 sint 12. Justifier que pour toutx >0’i,l´entalgredtdinauoase,vnupsiisteex,tnede´c´epratltsu´eurtd t 0  Z x  2 sint de´terminerlimdt. t x→+∞ 0

Probl`eme2.Unsyste`mediffe´rentiel

3∞ ∞ SoitX:R→ROn dit queXest de classeCsurRsix 1 , x 2 etx 3 sont de classeCsurR.   x 1 (t)   t7→ x 2 (t) x 3 (t) 3∞ Onadmettradansleproble`mequel’ensembleEdes applicationsX:R→Rde classeCest unR−espace vectoriel.   x 1   Onseproposedede´terminerl’ensembleSdes applicationsX= x 2 ∈Ev´refiina:t x 3  0 = 3x−x+ 2x  x 2 31 1 0 x=x 2 (0.1) 2  0 x=−x 1 +x 2 3 Leproble`mesede´composeen3parties.Lapartie2peutsetraiterind´ependamment.

Partie 1. Fourre-tout 0t 1. Soitβ∈Rtielerenle´’leauqenoit´ffidtaetdentesr´droumoamdnMepaelepmrfix´e.Donnerlac(ED) :y=y+β e avec la condition initialey(0) = 0lsbimuepsedelirmernestnee´’desdlusoonti(ED).    0 x 1 x 1 0 0    2. SoitX= x 2 ∈E.On poseX= x . 2 0 x 3 x 3 0 Montrerquelesyst`eme(0.1)peuts’e´criresouslaformeX=V×Xo`uVreeunstatemecirrracdee´dro’3que l’on explicitera. 3. MontrerqueSest un sous-espace vectoriel deE.

Partie2.R´eductiond’unendomorphisme   3−1 2   3 Danscettepartie,onseproposed’e´tudierl’endomorphimefdeRice`alamatrsaosice´qieuemtnonancA = 01 0 . −1 1 0 3 OnnoteIdl’applicationidentit´edeR.

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