Capesext premiere composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

´Capes externe de mathematiques : session 2007`Premiere compositionINTRODUCTIONL’objet du probl`eme est l’´etude de la suite (s ) d´ efinie par :n n≥1n 1∀n≥ 1,s =n 2kk=1Dans une premi`ere partie, nous nous attacheronsad` ´emontrer, de diff´erentes fa¸ cons,par des m´ethodes ´el´ementaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantesseront consacr´ees `alad´etermination de sa limite S par divers moyens. Les parties 5 et6 utiliseront la valeur de S pour calculer la somme de certaines s´eries num´eriques.On rappelle que, pour tous entiers m, n v´ erifiant m≤ n, on note [m, n] l’intervalled’entiers[[m, n]] = {p∈ Z | m≤ p≤ n}`PREMIERE PARTIE : Convergence de la suiteDans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partiedu programme de Terminale S.1. Premi`ere m´ethodea) D´ emontrer que, pour tout entier k≥ 2, on a la majoration1 1 1≤ −2k k− 1 kb) En d´eduire que la suite (s ) est major´ee.n n≥1c) D´ emontrer que la suite (s ) converge et donner un majorant de sa limite.n n≥1Dans toute la suite du probl`eme, on notera S cette limite.2. Deuxi`eme m´ethodeOn consid`ere la suite (t ) ,d´efinie par :n n≥11∀n≥ 1,t = s +n nna) D´ emontrer que les suites (s ) et (t ) sont adjacentes.n n≥1 n n≥1−1b) Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude 10 de S.3. Troisi`eme m´ethodeEcrire le texte d’un exercice de niveau terminale S d´emontrant, par comparaison a`une int´egrale, la convergence de la suite (s ) ...