CCENS 2004 mathematiques classe prepa psi

CX 4111 MATHÉMATIQUES DURÉE: 4 HEURES L'usage de toute calculatrice est interdit L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants que les candidats peuvent traiter dans l'ordre de leur choix. Problème 1 On se propose d'étudier la série de fonctions CS, où x E R ; on rappelle n>0 que sd'" exp(-$)dx = 6 et que par convention O! = 1. I.1/ Montrer que la série est bien définie pour tout x E R. On note f(z) sa somme. Montrer que f est une fonction de classe C1. I.2/ Quelle est la limite en x = +oo de f(x) ? On se propose de calculer un équivalent de f(x) lorsque x -+ +oo. On introduit la fonction I.3/ Montrer que gx(0) est bien définie comme fonction de 8, périodique et de classe C1 et donner une expression explicite de g,(O) comme fonction de x = Xeie, Tournez la page S.V.P. 1.4,’ Calculer les coefficients de Fourier de g,(O) et en déduire que 1.5,’ Étudier la convergence de la suite (1gp12)pEw de fonctions de O lorsque [, et en déduire que O E] 1.6,’ Montrer que, pour x > O, On prendra garde de justifier l’existence des diverses intégrales rencontrées dans le calcul. 1.7,’ Montrer que si O 5 X 5 1/2, alors et en déduire que pour x -+ +oo, puis que Quel est donc un équivalent de f(x) lorsque x + +CO? Problème II Ensembles de Besicovitch On considère la bande V du plan R2 définie par x E [O, 11, où (z, y) sont les coordonnées d’un point dans le repère orthonormé usuel. On appelle ensemble de Besicovitch toute partie K de V ayant la ...