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CCP 2003 mathematiques 1 classe prepa psi

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SESSION 2003 PSIM105 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Dans tout ce problème, on désigne par µ une application continue 2π - périodique de R dans R et on considère l’équation différentielle : ′′( E ) y + y = µ(t) µ ′On désigne par ϕ la solution sur R de ( E ) qui vérifie en outre les relations ϕ ()0 =ϕ (0)= 0 . µ µ µ µPour x∈ R , on note : x xG()x = µ t( cos)t dt et H ()x = µ t( sin)t dtµ µ∫ ∫0 0 ϕDans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction . Dans la partie II et la partie III, µon étudie un exemple explicite. PARTIE I ( ) ( ) ( ) ( )()On désigne par F la fonction définie sur R par F x = sin x G x − cos x H x . µ µ µ µ Tournez la page S.V.P. 2Pour simplifier les notations, on écrira F, G, H , ϕ pour désigner les fonctions ϕF , G , H , . µµ µ µ ′I.1 Justifier la dérivabilité de G, H et donc F. Préciser F(0) et F (0) . 2 ′′I.2 Montrer que F ...

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SESSION 2003PSIM105 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Dans tout ce problème, on désigne parµune application continue2π périodique deRdansRet on considère l’équation différentielle : (E)y′′ +y=µ(t)µ On désigne parsurR(E) qui vérifie en outre les relationsϕ(0)=ϕ0)=0 . ϕµla solutiondeµµ µ PourxR, on note : xx ( )=µ( )=µ Gµx tcost dt etHµ(x) (t)sint dt 00 Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonctionµ. Dansla partie II et la partie III, on étudie un exemple explicite. PARTIE I On désigne parFµ la fonction définie surR parFµx)=(sinx)Gµx)(cosx)Hµ(x). Tournez la page S.V.P.