CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa pc

Les calculatrices sont interdites****N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte,a la precision et a la concision de la redaction.Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’enonce,il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositionen expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amene a prendre.****PARTIE IOn considere l’equation di erentielle lineaire du 2 ordre en la fonction inconnue y de lavariable reelle x :00 0(E ) x(x+1)y (x)+(2x+1)y (x) (+1)y(x) = 0,ou designe un parametre reel.I.1. Etant donne ∈ IR, comparer les equations (E ) et (E ). 11On supposera dans la suite du probleme que .2Dans la suite de cette partie, y designe une fonction de la variable reelle x, admettant un+∞Xndeveloppement en serie entiere y(x) = a x au voisinage de 0.nn=0I.2. Montrer que, pour que y soit solution de l’equation (E ), il faut et il su t que l’onait pour tout n∈ IN :(+n+1)( n)a = a .n+1 n2(n+1)Tournez la page SVPPage 2I.3.1I.3.1. Donner une condition necessaire et su sante sur ∈ [ ,+∞[ pour que2l’equation (E ) admette des solutions polynomiales de degre donne d∈ IN ?I.3.2. Lorsque c’est le cas, montrer qu’il existe une unique solution polynomiale de(E ) de degre d, que nous noterons ϕ , telle que ϕ (0) = 1. d dI.3.3. Expliciter la fonction polynˆome ϕ .10 0 0I.3.4. Determiner les coe cients a, b, c, a, b, c tels que ...