CCSE 2004 concours maths TSI
7 pages
Français

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

CCSE 2004 concours maths TSI

-

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
7 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

CCSE 2004 concours maths TSI

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 297
Langue Français

Exrait

MATHÉMATIQUES II Filière TSI MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, Π est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct ()O; i, j . On rappelle que les déplacements de Π sont les rotations et les translations de ce plan. On notera Id l’identité de Π .π Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note M()IR l’ensemblen des matrices carrées à n lignes. tOn désigne par A la transposée de la matrice A . Si A est une matrice carrée, on désigne par det ()A son déterminant et si AM∈ ()IR , on convient d’appeler écriture de A par blocs l’écriture3 PQ A = , RS q1où PM∈ ()IR , Q est de la forme , R est de la forme , et S est de lar r2 1 2q2 forme []s, avec , q ,q r, r, s réels.1 2 1 2 La matrice identité de M()IR est notée I .2 Partie I - Questions préliminaires I.A - Les matrices AA, ′ et leur produit AA ′ appartiennent à M()IR ; on les3 écrit par blocs : PQ P ′ Q ′ XYA = A ′ = AA ′ = RS R ′ S ′ ZT I.A.1) En prélevant dans les matrices AA et ′ les termes utiles, calculer les deux termes de la matrice YY et montrer que =PQ′ + QS ′ . Des calculs analogues prouveraient que PP ′ + QR ′ PQ ′ + QS ′AA ′ = , ce que l’on admettra. RP ′+ SR ′ RQ ′ + SS ′ I.A.2) Donner sans justification l’écriture par blocs de la transposée de A . Concours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Filière TSI I.B - 2I.B.1) On suppose que le couple ()X , X forme une base orthonormée de IR1 2 et que X et X sont des vecteurs propres pour une certaine matrice B appar-1 2 tenant à M()IR . Montrer que le couple ()–X , X a les mêmes propriétés.2 1 2 I.B.2) Soit SM∈ ()IR , qu’on suppose symétrique. Justifier l’existence dans2 M()IR de trois matrices, NL,,D , avec NL et orthogonales et D diagonale, tel-2 t tles que SN= D N = LD L , où L est obtenue en remplaçant dans N la première colonne par son opposée. I.B.3) En comparant det ()N et det ()L , montrer que l’une des deux matrices NL ou est de la forme cos θ –sin θ R()θ = sin θ cos θ I.C - Soit RR une matrice de la forme ()θ précédente, différente de I . Montrer que RI– est inversible. Partie II - Le Groupe G À tout triplet ()θ,,pq de nombres réels, on associe la matrice cos θ –sin θ p M()θ,,pq = sin θ cos θ q 001 et son écriture par blocs, notée R()θ Tp(),q RT, abrégée en , 0 []1 0 1 où les deux termes de la sous-matrice uniligne 0 sont nuls. On appelle G l’ensemble des matrices de la forme M()θ,,pq. Concours Centrale-Supélec 2004 2/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI II.A - II.A.1) Calculer le déterminant de M()θ,,pq. II.A.2) La matrice M()θ,,pq est-elle orthogonale ? II.B - II.B.1) Calculer le produit M()θ,,pq ⋅ M()θ′,,p ′ q ′ de deux matrices de G. Montrer que ce produit appartient à G . II.B.2) Le triplet ()θ,,pq étant donné, comment choisir ()θ′,,p ′ q ′ pour que le produit précédent soit la matrice identité I ?3 II.B.3) Montrer que, lorsqu’on le munit de la multiplication, l’ensemble G est un groupe. II.C - II.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de M()θ,,pq est le produit de deux polynômes à coefficients réels, que l’on précisera. II.C.2) On suppose que RI≠ . a) Déterminer, selon les valeurs de θ , les valeurs propres réelles de M()θ,,pq. b) Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ? x0 Trouver un vecteur propre de la forme associé à la valeur propre 1. On don-y0 1 x –10nera de une expression matricielle utilisant TI et ()–R . y0 II.D - Chaque point P de Π est repéré par ses coordonnées (,xy) dans le repère ()O ; ij, . II.D.1) Quelles sont les coordonnées (,x ′ y ′) de l’image P ′ de P par la transla- tion de vecteur Tp= iq+ j ? II.D.2) Le point P de Π et le réel θ sont fixés. On désigne par r la rotation0 de centre P et d’angle θ . Soit P ′ l’image de P par r .0 Exprimer les coordonnées (,x ′ y ′) de P ′ en fonction de xy, , θ , et des coordonnées ()x , y de P .0 0 0 Concours Centrale-Supélec 2004 3/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI II.D.3) Montrer que, dans II.D.2) comme dans II.D.1), on peut trouver dans G une matrice M , que l’on précisera dans chacun des deux cas, telle que x ′ x = M .y ′ y 1 1 II.D.4) a) Réciproquement, les réels θ,,pq,x,y étant donnés, calculer le produit matri- x ciel .M()θ,,pq y 1 x ′ b) Ce produit est de la forme . y ′ 1 Montrer que le point P ′ de Π , de coordonnées (,x ′ y ′), est l’image du point P , de coordonnées ()xy, , par un déplacement. c) Lorsque ce déplacement est une rotation de centre P()x , y différente de0 0 0 l’identité de Π , on pose x –10V = . Montrer que V =()IR– T .P P0 0y0 Partie III - Le groupe G et les matrices symétriques Dans cette partie, on introduit l’ensemble S des matrices symétriques de M()IR , donc de la forme générale 3 a b d . bce def Une telle matrice sera notée Q()a,,bcd,,e,f , ou Q de façon abrégée. Soit Q une matrice appartenant à S. On appelle transformée de Q toute tmatrice de la forme MQM , où M est une matrice appartenant à l’ensemble G défini dans la partie II. III.A - Soit Q S . III.A.1) Montrer que toutes les transformées de Q appartiennent à S . III.A.2) Montrer que QQ est une transformée de . Concours Centrale-Supélec 2004 4/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI III.A.3) Montrer que si Q ′ est une transformée de QQ, alors est une transfor- mée de Q ′ . III.A.4)Q ′ et ″ une transformée de Q ′ , alors Q ″ est une transformée de Q . Pour les questions qui suivent, on pourra utiliser les résultats de la partie I.A. III.B - À toute matrice Q()a,,bcd,,e,f , on associe les réels : 2 p()Q =ac+ ; pQ = ac – b ; p()Q = det ()Q1 2 3 et la matrice : a bSQ() = . b c tIII.B.1) Pour M ∈ G , associée à θ,,pq, écrire S()MQM comme un produit de trois matrices. III.B.2) En déduire que, pour toute transformée Q ′ de Qp, on a ()Q = p()Q ′1 1 et .p()Q = p()Q ′2 2 III.B.3) Montrer que,Q ′ de , on a ()Q = p()Q ′ .3 3 Les nombres réels p()Q,,p()Q p()Q sont appelés les invariants de Q . 1 2 3 Dans la suite de cette section, on se propose, en considérant divers cas pour les invariants de QQ, de trouver, dans chaque cas, une transformée simple de . III.C - III.C.1) Montrer que, parmi les transformées de Q()a,,bcd,,e,f , il y a une matrice de la forme Q()λ,,0 µ,d ′, e ′, f ′ , qu’on notera Q ′ dans la suite, (on pourra utiliser I.B.3) et III.B.1)). III.C.2) Calculer pQ et pQ en fonction de λ et µ .1 2 III.C.3) Montrer que, si pQ est nul, on peut, en précisant le choix de Q ′ ,2 faire en sorte que µ soit nul. III.D - Pour M ∈ G , de la forme M()0,,pq, calculer les termes non diagonaux tde .MQ ′M Concours Centrale-Supélec 2004 5/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI III.E - Étude des différents cas III.E.1) Premier cas : p()Q est non nul.2 Montrer que, parmi les transformées de Q ′ , il y a une matrice Q ″ diagonale dont le troisième terme diagonal est nécessairement p()Q ⁄ p()Q .3 2 III.E.2) Deuxième cas : p()Q est nul.2 a) Premier sous-cas : p()Q et p()Q sont non nuls.1 3 Montrer que, parmi les transformées de Q ′ , il y a la matrice Q()λ,,,,000e ′,0 . b) Deuxième sous-cas : p()Q est non nul et p()Q est nul.1 3 Montrer que,Q ′, il y a une matrice de la forme Q()λ,,,,,0000f ″ . c) Troisième sous-cas : p()Q est nul.1 Montrer que ab, et c sont nuls. Partie IV - Application aux coniques Les coefficients réels ()abcd,,,,e,f étant fixés, on considère la courbe du plan Π , qui admet, dans le repère O; i, j l’équation cartésienne : 2 2 ax++2bxy cy+2dx+2ey+f =0, Cette courbe est notée Cabcd,,,,e,f , ou C , de façon abrégée. L’ensemble des courbes C est noté F . IV.A - Étude d’un exemple On pose H= C()01, ⁄200,,, –1 ⁄2, –1 et H = C()10,, –100,,, –2.1 2 Représenter sur un même dessin les courbes H et H ainsi que leurs asymp-1 2 totes. Dans la suite, on associe au point P de coordonnées xy, la matrice x P = y1 1 et à la matrice Q()a,,bcd,,e,f définie dans la partie III la courbe C()abcd,,,,e,f . Concours Centrale-Supélec 2004 6/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI IV.B - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur le produit tmatriciel P QP , pour que le point P soit sur la courbe C associée à la matrice1 1 Q . IV.C - Soit dd un déplacement du plan, ()P l’image par dP du point et M la matrice, appartenant à G , définie dans II.D.3), qui est associée à d . IV.C.1)fisante, liant les matrices P ,1 MQ et et leurs transposées, pour que le point d() soit sur la courbe C asso- ciée à la matrice Q . IV.C.2) En déduire que la courbe C de F , associée à Q de S , est l’image par d d’une courbe C ′ de F , associée à une matrice Q ′ de S , que l’on préci- sera. IV.C.3) Montrer que Q ′ est, suivant la définition donnée dans la partie II, une transformée de Q . IV.D - En utilisant III.E, montrer que toute courbe C de F est l’image, par un certain déplacement, d’une courbe C de F d’équation simple.1 IV.E - Montrer que si C est associée à la matrice Q , elle est aussi associée à αQ , pour tout α non nul. Exemple : montrer, en utilisant III.E.1), que H est l’image de H par un1 2 déplacement que l’on ne cherchera pas à expliciter. ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2004 7/7
  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents