CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa tsi

MATHÉMATIQUES I Filière TSIMATHÉMATIQUES IPartie I - On considère l’intégrale : π ---2 nI = cos xdx n ∫0où n désigne un entier naturel.I.A - I.A.1) Déterminer une relation de récurrence entre I et I .n + 2 nI.A.2) En déduire une expression de I et I à l’aide de factorielles.2n 2n + 1I.B - I.B.1) Montrer l’équivalence : I ∼ I .n n + 1I.B.2) Montrer que la suite ()J avec J =()n + 1 I I est constante etn n n n + 1n ∈ INπen déduire l’équivalence : I ∼ ------- .n 2nI.B.3) Application 1Montrer, lorsque t , réel, tend vers + ∞ , l’équivalence :π---t π2()cosx dx ∼ ----- .∫ 2t0I.B.4) Application 2()n + 1 π xÀ l’aide de la série de terme général u = sinx dx , montrer que l’inté-n ∫n π+ ∞ xgrale impropre sinx dx est divergente.∫11⎛⎞I.C - On pose, pour n ≥ 1 , u = n + ln nn–l–n ! et v = u – u .---n n n + 1 n⎝⎠2I.C.1) Montrer l’équivalence :1v ∼ ------------ .n 212nI.C.2) En déduire que la suite ()u est convergente. On notera S san n ∈ INlimite.Concours Centrale-Supélec 2004 1/6MATHÉMATIQUES I Filière TSIFilière TSII.D - Établir l’existence d’une constante C > 0 telle que :1n + ---2 –nn! ∼ Cn e .I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l’équivalent de Stirling :n –nn!2∼ πn n e .Partie II - On considère les séries entières : nx 1 n⎛⎞------ et ln 1 + --- x .∑ ∑ ⎝⎠n nn ≥ 1 n ≥ 1II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur[–1,1 [ et calculer sa somme f .II.B - On considère la seconde série ...