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Composition d'analyse et probabilités 2005 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

6 pages
Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition d'analyse et probabilités 2005. Retrouvez le corrigé Composition d'analyse et probabilités 2005 sur Bankexam.fr.
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Notations
• Soit(E,N)unespacevectoriel(complexe)norm´ e.OnnoteL(E)l’espacevectorielnorm´ edes
applications lin´ eaires continues de E dans lui-mˆ eme. Rappelons que la norme d’un ´ el´ ement
T ∈L(E) est le nombre r´ eel positif |||T||| = sup

N(T(x))

x∈E, N(x)6 1

.
• Soient E un espace de Hilbert (complexe) et T ∈ L(E). Notons T

l’adjoint de T. On dit
que T est unitaire si T est bijectif et T
−1
=T

.
• Soient I un ensemble non vide et (a
i
)
i∈I une famille de nombres r´ eels positifs. On appelle
somme de cette famille et l’on note
X
i∈I
a
i
la borne sup´ erieure dansR+∪{+∞} des sommes
X
i∈J
a
i
lorsque J d´ ecrit les parties finies de I.
• On pose (+∞)
1/2
= +∞.
• NotonsA l’espace vectoriel complexe des familles (am,n
)
(m,n)∈Z
2 de nombres complexes.
• Le support d’un´ el´ ementa = (am,n
)
(m,n)∈Z
2 ∈Aestlesous-ensemble

(m,n)∈Z
2

am,n
6= 0

deZ
2
.
• On note A le sous-espace vectoriel deA form´ e des familles de support fini.
• Pour (m,n)∈Z
2
, on note Wm,n ∈A la famille (a
p,q
)
(p,q)∈Z
2 telle que am,n = 1 et a
p,q = 0 si
(p,q)6= (m,n).
• Pour a = (am,n
)
(m,n)∈Z
2 ∈A, on pose
kak
1 =
X
(m,n)∈Z
2
|am,n
| et kak
2 =


X
(m,n)∈Z
2
|am,n
|
2


1/2
.
• On pose A
1 =

a

kak
1
6= +∞

et A
2 =

a

kak
2
6= +∞

.
• Dans tout le probl` eme on fixe un nombre complexe λ de module 1.
Les parties I.B, II et III sont ind´ ependantes
« »
1. (a) Montrer que l’on a
X
(m,n)∈J
|am,n
|
2
6
X
(m,n)∈J
|am,n
|

2
pour touta∈A et toute partie
finie J deZ
2
.
(b) Montrer que, pour tout a∈A, on a kak
26kak
1
. En d´ eduire que A
1 ⊂A
2
.
Les ensembles A
1
et A
2
sont des sous-espaces vectoriels de A. On munit
dor´ enavant A
1 de la norme k k
1
et A
2 de la norme k k
2
. Alors A
1
est un
espace de Banach et A
2
est un espace de Hilbert. De plus, A est dense dans
l’espace de Banach A
1
et dans l’espace de Hilbert A
2
. On ne demande pas de
justifier ces faits.
page 21Agr´ egation externe de math´ ematiques Analyse et probabilit´ es Rapport du jury pour la session 2005
2. Montrer qu’il existe une unique forme lin´ eaire continueσ :A
1 →C telle queσ(Wm,n
) = 1
pour tout (m,n)∈Z
2
.
Si a = (am,n
)
(m,n)∈Z
2 est un ´ el´ ement de A
1
, on note
X
(m,n)∈Z
2
am,n
le nombre σ(a).
3. Soient a = (am,n
)
(m,n)∈Z
2 et b = (bm,n
)
(m,n)∈Z
2 des ´ el´ ements de A
2
.
(a) Soient (m,n) ∈ Z
2
. Montrer que la famille

λ
q(m−p)
a
p,q
bm−p,n−q

(p,q)∈Z
2
est un
´ el´ ement de A
1
.
(b) On pose cm,n =
X
(p,q)∈Z
2
λ
q(m−p)
a
p,q
bm−p,n−q
.
Montrer que |cm,n
|6 kak
2
kbk
2
et que, pour tout ε ∈R

+
, il existe A ∈N, tel que,
∀(m,n)∈Z
2
, on ait |m|+|n|>A⇒|cm,n
|6ε (´ etudier d’abord le cas o` u a∈A et
b∈A).
On pose a?b = (cm,n
)
(m,n)∈Z
2.
Si m,m
0
,n,n
0
sont des entiers relatifs, on a Wm,n
?Wm
0
,n
0 =λ
nm
0
Wm+m
0
,n+n
0 ;
pour touta∈A
2
, on aW
0,0
?a =a?W
0,0 =a. On ne demande pas de justifier
ces faits.
(c) Montrer que, pour a,b∈A
1
on a ka?bk
16kak
1
kbk
1
.
(d) Montrer que le «produit» ? est associatif sur A
1
.
Dans la suite du probl` eme, on pose 1 = W
0,0
, U = W
1,0
et V = W
0,1
. Pour
a ∈ A
1
, on d´ efinit a
n
pour n ∈ N, en posant a
0
= 1, et a
n+1
= a
n
?a. S’il
existe un ´ el´ ement b ∈ A
1
(n´ ecessairement unique) tel que a?b = b?a = 1,
on dira que a est inversible et on posera b = a
−1
. Pour n∈N, on pose alors
a
−n
= (a
−1
)
n
= (a
n
)
−1
.
On remarque que V ? U = λ(U ? V) et que, pour tout m,n ∈ Z, on a
Wm,n =U
m
?V
n
.
C
1
On note B l’espace vectoriel des fonctions de R → C de classe C
1
p´ eriodiques de p´ eriode 1,
muni de la norme N :f 7→ sup

|f(t)|+|f
0
(t)|

t∈R

. On note z ∈B l’applicationt7→e
2iπt
.
Pour n∈Z, on note z
n
∈B l’application t7→e
2iπnt
.
1. (a) Montrer que pour tout f,g ∈ B, on a N(fg) 6 N(f)N(g), o` u l’on a not´ e fg la
fonction t7→f(t)g(t).
(b) Montrer que le sous-espace de B engendr´ e par la famille (z
n
)
n∈Z
est dense dans B.
2. (a) Montrer que, pour tout f ∈B, la famille ψ(f) d´ efinie par
ψ(f)m,n =



0 si n6= 0
Z
1
0
f(t)e
−2iπmt
dt si n = 0
estun´ el´ ementdeA
1
.Montrerquel’applicationψ :B →A
1
ainsid´ efinieestcontinue
et v´ erifie ψ(fg) =ψ(f)?ψ(g) pour tout f,g∈B.
Remarquons que l’on a ψ(z) =U.
(b) Soit θ un nombre r´ eel tel que e
2iπθ
=λ. Montrer que pour tout f ∈B on a l’´ egalit´ e
V ?ψ(f) =ψ(g)?V o` u g est la fonction t7→f(t+θ).
page 22Agr´ egation externe de math´ ematiques Analyse et probabilit´ es Rapport du jury pour la session 2005
Pour x∈R, on note δ(x) = inf

|x−n|

n∈Z

sa distance ` aZ.
1. Soit n∈N

.
(a) Soients
0
,...,s
n+1 ∈ [0,1].Montrerqu’ilexistedesnombresentiersietj satisfaisant
06i<j6n+1 et |s
i−s
j
|6
1
n+1
·
(b) Soientt
0
,...,t
n ∈R.Montrerqu’ilexistedesentiersietj satisfaisant06i<j6n
et δ(t
i−t
j
)6
1
n+1
·
(c) Montrerquepourtoutt∈R,ilexistek∈Nsatisfaisant16k6netδ(kt)6
1
n+1
·
2. Soit α ∈ R+
. Pour q ∈ N

, posons U
α
(q) =

t ∈ R

δ(qt) < q
−α

et notons
Y
α = limsup
q→∞
U
α
(q) l’ensemble des t qui appartiennent ` a une infinit´ e de U
α
(q).
(a) Montrer que Y
1 =R.
(b) Calculer la mesure de Lebesgue de U
α
(q)∩[0,1].
(c) Montrer que pour α > 1, l’ensemble Y
α
est de mesure nulle pour la mesure de
Lebesgue surR. En d´ eduire que Y =
[
α>1
Y
α
est de mesure nulle (pour la mesure de
Lebesgue).
3. (a) Montrer que pour tout α ∈ R+
, l’ensemble Y
α
est une intersection d´ enombrable
d’ouverts deR. Montrer que l’ensemble X =
\
α∈R

+
Y
α
est dense dansR et que c’est
une intersection d´ enombrable d’ouverts deR.
(b) Soitt∈R.Montrerquet6∈X sietseulements’ilexisteunpolynˆ omeP ` acoefficients
r´ eels tel que P(n)δ(nt)> 1 pour tout n∈N

.
Pour a = (am,n
)
(m,n)∈Z
2 ∈C
Z
2
, on pose τ(a) =a
0,0
.
Pour tout a,b ∈ A
2
, on a τ(a?b) = τ(b?a). On ne demande pas la v´ erification de cette
formule.
Consid´ erons les applicationsS :x7→U?x?U
−1
−x etT :x7→V ?x?V
−1
−x deA
1 dans lui
mˆ eme. Notons L : A
1 → A
1 ×A
1
et M : A
1 ×A
1 → A
1
les applications lin´ eaires d´ efinies par
L(x) = (S(x),T(x)) et M(x,y) =S(y)−T(x) (pour x,y∈A
1
).
1. Montrer que ImL⊂ KerM.
On suppose jusqu’` a la fin du II que λ n’est pas une racine de 1. On ´ ecrira λ =e
2iπθ
avec
θ∈R\Q.
2. Quel est le noyau de L?
3. Montrer que l’adh´ erence de ImM est Kerτ. On munit l’espace vectoriel A
1 ×A
1 de la
norme (a,b)7→kak
1 +kbk
1
. Quelle est l’adh´ erence de ImL?
page 23Agr´ egation externe de math´ ematiques Analyse et probabilit´ es Rapport du jury pour la session 2005
4. Pour n∈N

, montrer que
inf

kT(U
k
)k
1

16k6n

6 2sin
π
n+1
·
En d´ eduire que l’image de L n’est pas ferm´ ee.
5. On note E ⊂ A
1
le sous-espace vectoriel form´ e des a = (am,n
)
(m,n)∈Z
2 ∈ A
1
tels que
a
0,0 = 0 et pour toutk∈N, la famille (m,n)7→ (1+m
2
+n
2
)
k
am,n
appartienne ` aA
1
. Les
applicationsLetM induisentdesapplicationslin´ eairesL
0
:E →E×E etM
0
:E×E →E.
A quelle condition sur θ a-t-on ImL
0
= KerM
0
et ImM
0
=E ?
1. Montrer que pour tout a∈A
1
et tout b∈A
2
, on a ka?bk
26kak
1
kbk
2
.
A l’aide de (a), on d´ efinit une application lin´ eaire continue π : A
1 → L(A
2
)
satisfaisant π(a)(x) =a?x et |||π(a)|||6kak
1 pour a∈A
1
et x∈A
2
.
2. Montrer que kak
26|||π(a)||| pour tout a∈A
1
.
3. Montrer que π(a?b) =π(a)◦π(b). Montrer que π(U) et π(V) sont unitaires.
Pour a∈A, on note a

∈A la famille (bm,n
)
(m,n)∈Z
2 d´ efinie par :
bm,n =λ
mn
a−m,−n
.
Pour tout a∈A
1
l’adjoint π(a)

de π(a) est π(a

).
On ne demande pas de justifier cette formule.
1. Soient H un espace hilbertien complexe et T ∈ L(H). Rappelons que la suite
n7→|||T
n
|||
1/n
est convergente. On ne demande pas de justifier ce fait.
Montrer que |||T

◦T||| =|||T|||
2
. En d´ eduire que |||T||| = lim
n→∞
|||

T

◦T)
n

|||
1/2n
.
2. Soit a∈A. Pour n∈N

, on note k
n
le nombre d’´ el´ ements du support de a
n
.
(a) Montrer que ka
n
k
16ka
n
k
2
p
k
n
.
(b) Montrer qu’il existe r∈R

+
tel que, pour n∈N

, on ait k
n6r
2
n
2
.
(c) Montrer que l’on a lim
n→∞
ka
n
k
1/n
2
= lim
n→∞
|||π(a
n
)|||
1/n
= lim
n→∞
ka
n
k
1/n
1
.
(d) Montrer que |||π(a)||| = lim
n→∞

a

?a

n

1/2n
1
= lim
n→∞

τ

(a

?a)
2n

1/4n
.
page 24Agr´ egation externe de math´ ematiques Analyse et probabilit´ es Rapport du jury pour la session 2005
1. SoientH unespacehilbertiencomplexeetu,v∈L(H)desendomorphismesunitairestels
que vu =λuv.
(a) Montrerqu’ilexisteununiquehomomorphismecontinuσ
u,v
:A
1 →L(H)d’alg` ebres
(i.e. une application continue qui soit ` a la fois lin´ eaire et un homomorphisme d’an-
neaux) satisfaisant σ
u,v
(U) = u, σ
u,v
(V) = v. Montrer que, pour tout a ∈ A
1
, on a
|||σ
u,v
(a)|||6kak
1
.
(b) Montrer que, pour tout a∈A
1
, on a |||σ
u,v
(a)|||6|||π(a)|||.
2. On note A l’adh´ erence de π(A
1
) dans L(A
2
). Soit a ∈ A. On suppose que π(a) est
inversible dans A.
(a) Montrer qu’il existe b∈A tel que |||π(1−a?b)|||< 1 et |||π(1−b?a)|||< 1.
(b) Montrer que a est inversible dans A
1
.
On suppose que λ n’est pas une racine de 1.
1. Pour n∈N

et a∈A
1
on pose τ
n
(a) =n
−2
X
06j,k<n
U
j
?V
k
?a?V
−k
?U
−j
.
(a) Montrerquepourtouta∈A
1
,lasuiteτ
n
(a)convergedansA
1
versτ(a)1(onpourra
commencer par traiter le cas o` u a∈A).
(b) Soit a ∈ A
1 non nul. Montrer qu’il existe n ∈ N

tel que τ
n
(a

?a) soit inversible
dans A
1
.
2. Montrer que tout id´ eal bilat` ere non nul de A
1
est ´ egal ` a A
1
.
3. Soient H un espace hilbertien complexe non nul et u,v ∈ L(H) des endomorphismes
unitaires tels que vu = λuv. On note σ
u,v
: A
1 → L(H) l’homomorphisme continu
d’alg` ebres satisfaisant σ
u,v
(U) =u et σ
u,v
(V) =v.
(a) Montrer que pour tout a∈A
1
on a |τ(a)|6|||σ
u,v
(a)|||.
(b) Montrer que, pour tout a∈A
1
, on a |||σ
u,v
(a)||| =|||π(a)|||.
On consid` ere les espaces hilbertiens suivants :
• H
R
d´ esignel’espaceL
2
(R)desclassesdefonctionsξ :R→Cmesurablesetdecarr´ eint´ egrable
pour la mesure de Lebesgue dans R (modulo les fonctions n´ egligeables), muni de la norme
ξ 7→
Z
R
|ξ(t)|
2
dt

1/2
.
• H
U
d´ esigne l’espace des classes de fonctions ξ : R → C mesurables p´ eriodiques de p´ eriode
1 telles que
Z
1
0
|ξ(t)|
2
dt < +∞ (modulo les fonctions n´ egligeables), muni de la norme
ξ 7→
Z
1
0
|ξ(t)|
2
dt

1/2
.
page 25Agr´ egation externe de math´ ematiques Analyse et probabilit´ es Rapport du jury pour la session 2005
• H
Z
d´ esigne l’espace ‘
2
(Z) des fonctions ξ :Z →C telles que
X
n∈Z
|ξ(n)|
2
< +∞, muni de la
norme ξ 7→


X
n∈Z
|ξ(n)|
2


1/2
.
On ne demande pas de v´ erifier que ce sont des espaces hilbertiens.
Soit θ∈R\Q.
Soit N ∈ N. On se donne des fonctions (f
k
)−N6k6N
, de classe C
1
sur R ` a valeurs dans C,
p´ eriodiques de p´ eriode 1.
On consid` ere les op´ erateurs T
R
∈ L(H
R
) et T
U
∈ L(H
U
) d´ efinis de la mani` ere suivante : si
˜
ξ ∈ H
R
(resp.
˜
ξ ∈ H
U
) est la classe d’une fonction mesurable ξ :R →C, on note T
R
˜
ξ (resp.
T
U
˜
ξ) la classe dans H
R
(resp. dans H
U
) de la fonction t7→
N
X
k=−N
f
k
(t)ξ(t−kθ).
Si ξ ∈H
Z
, on pose T
Z
ξ(n) =
N
X
k=−N
f
k

t
θ

ξ(n−k).
Montrer que |||T
R
||| =|||T
U
||| =|||T
Z
|||.
page 26