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Composition de Physique 2007 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Interne)

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18 pages
Concours de la Fonction Publique Agrégation (Interne). Sujet de Composition de Physique 2007. Retrouvez le corrigé Composition de Physique 2007 sur Bankexam.fr.
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 Lobjet du problème est de présenter les aspects classiques dune nouvelle méthode de mesure « mécanique » de la constante de Planck h.  Dans la partieA, après avoir présenté un moyen de réalisation dun champ magnétique radial dans un plan, on précise les conditions de mesure par pesée, dune force de Laplace. La partieB aborde les conditions dapparition et de mesure dune force électromotrice dinduction créée dans un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire. La partieCrassemble ces éléments pour relier h à une masse et à des grandeurs cinématiques. Des questions pédagogiques associées au thème de lénergie sont proposées auD. Enfin, on sintéresse dans la partieE au principe optique de mesure dun déplacement afin dillustrer lune des mesures cinématiques à haute exactitude utiles à lexpérience.  Quatre des cinq parties comprennent le mot « mesure » dans leur intitulé. Il sera donc tenu le plus grand compte des capacités démontrées par les candidats à prendre en compte, commenter, illustrer, le cas échéant de façon numérique, les aspects expérimentaux.  Les différentes parties sont assez largement indépendantes. Au sein de chacune d’elles, de nombreuses questions le sont également ; d’autres peuvent être résolues en admettant, si besoin, les résultats précédemment donnés dans l’énoncé.
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1. 
Partie A : Mesure dune force de Laplace
Création dun champ magnétique radia . l
1.1. On considère une bobine circulaire planeC1, de centre A. On note Az laxe perpendiculaire au plan de la bobine en son centre, il est appelé « axe de la bobine ». Cette bobine, dont on néglige lépaisseur, est composée de n1 jointives de spires rayon R1 (figure 1.a). Elle est parcourue par un courant dintensité constante I1. On r note B1(M) le champ magnétique créé parC1en un point M de lespace.
C1
a. En présentant avec soin la méthode utilisée, montrer que lon peut r écrire : B1(M)=B1r(r, z)err+B1z(r, z)erzet z sont les coordonnées cylindriques; r dorigine A et daxe Az et on introduitrez vecteur unitaire de laxe Az et le rer=Az.surdeMoinejtcporealréepntseoùrHMHMH r b.  BMontrer que, pour M appartenant à laxe Az,1(M) est colinéaire au vecteur ez.
c. 
Champ sur l’axe et on 1.a.: le courant est algébrisé comme lindique la figure choisit I1Représenter graphiquement lallure de la variation de> 0.  B1z avec(0, z) la coordonnée z, pour M vérifiant AM=zrez. Le calcul de B1z pas(0, z) nest demandé.
d. On choisit toujours I1> 0. Dessiner la carte des lignes du champ r magnétique B1quelconque contenant laxe Az. On précise que dans un plan (M) , les lignes de champ magnétique doivent être orientées.
I1
z
r ez
A
figure 1.a
C1
C’1
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I1
I 1
z
A
O
A
figure 1.b
1.2. On considère une deuxième bobine circulaire planeC’1, de centre A et daxe Az, identique à la précédente (n1spires jointives et de rayon R1), parcourue par un courant dintensité constante I1algébrisé comme lindique la figure 1.b. On impose  et I1= I1. Les deux bobinesC1 etC’1 sont perpendiculairement placées au même axe AAz. O est le milieu du segment AA ; on note OA= −OA'=aevz (a > 0) (figure 1.b). On suppose que r et z sont les coordonnées cylindriques dorigine O et daxe Oz. r On note B0 champ (M) lemagnétique créé en un point M par la superposition des contributions des deux bobines. On suppose I1> 0. Les deux bobinesC1 etC’1 sont donc parcourues par des courants de sens opposés.
a. Montrer que lon peut écrire pour tout point M, comme au1.1.a.de cette r r r partie : B0(M)=B0r(r, z)err+B0z(r, z)erz. Etablir que B0(O)=0 . b. Soit (Qmbobines (plan perpendiculaire à Oz en O). Montrer) le plan médian des que, dans le plan (Qm B), le champ magnétique0est « radial ».
r c. Dessiner soigneusement la carte des lignes du champ magnétique B0, dans un plan quelconque contenant laxe Oz. On considère toujours I1> 0. Examiner en particulier lallure des lignes de champ, au voisinage du point O et du plan (Qm).
On rappelle que les lignes de champ magnétique doivent être orientées.  d. Champ dans le plan(Qm) : représenter graphiquement lallure des variations de B0r la coordonnée r, pour un point M du plan ((r,0) avecQm) vérifiant OM=rerr; le calcul de B0r(r,0) nest pas demandé. Justifier en particulier que le module de B0r(r,0) présente un maximum B0maxune certaine valeur de r notée R, pour max; on ne demande de déterminer ni B0maxni Rmax. 2. Force de Laplace. On considère dans cette question un circuit électriqueScomposé dune spire circulaire plane de centre C, de rayon R, et daxe CZ. Il est parcouru par un courant dintensité I maintenu constant et supposé positif ; lalgébrisation du courant est précisée sur la figure 2.  2.1. Ce circuitSest placé dans un plan horizontal (Qm centre O, où règne un champ) de r magnétique B0« radial » de centre O, cest-à-dire un champ vérifiant, en tout point r M du plan : B0(M)=B0r(r,0)erroù r = OM et OM=rrer mais pas(Cest, par exemple nécessairement, le champ créé dans leur plan médiateur par lensemble des deux bobines étudié au1.2.de cette partie). La spireSest centrée en faisant coïncider les points C et O. Laxe CZ, de vecteur unitairereZ=rez, est aligné sur laxe Oz orthogonal en O au plan (Qm) :les coordonnées Z et z sont confondues ; l’axe commun est, de plus, orienté selon la verticale ascendante.  
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a. Soit P un point particulier de la spireS, et dOP un élément de circuit situé en P. Donner lexpression de la force de Laplace élémentaire exercée par le r champ B0sur lélément dOP . r b. En déduire que la spireS Fest soumise à une force de Laplace verticaleLdont on donnera lexpression vectorielle en fonction de R, B0r(R,0) , I tr e ez.
c. 
On suppose, pour tout r, B0r(r,0)<0 . Quelle est alors lorientation de la force r FL?
S
I
O
C
figure 2
Z z
r B0(M)
(Qm)
2.2.  en dessous de lun des plateauxPour mesurer la force ci-dessus, on suspend le circuit dune balance à fléau symétrique. Lorsque I = 0, léquilibre est assuré par une tare placée sur lautre plateau. Pour un courant I différent de 0, léquilibre est rétabli en plaçant sur le plateau situé au-dessus deSune masse mL. On se placera dans le cas où le champ magnétique dans le plan(Qm) estet dirigé vers O, cest-à-dire que radial B0r(r,0)<0 .  a. Proposer un schéma de principe annoté du dispositif expérimental décrit ci-dessus.  b. Montrer que mLdoit satisfaire léquation [1] : mL= −2πRIB0r(R,0) [1] g  où g désigne le module de laccélération de la pesanteur. c. Application numérique: R = 10,0 cm, g = 9,81 m.s-2, B0r(R,0)= −0,90 T , I = 8,70 A. Déterminer mL.
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2.3. Il est possible de généraliser lexpression [1] lorsque le circuitSnest plus une simple spire plane mais un circuit fermé filiforme parcouru par un courant dintensité I, et r que la carte des lignes de champ de B0est quelconque.
r a.  BDonner lexpression de la force de Laplace exercée par le champ0sur le circuit Ssous la forme dune intégrale curviligne le long deS.  b. Un système mécanique, non détaillé ici, permet de compenser les forces exercées perpendiculairement à la verticalerez. On suppose de plus que le point dapplication de la force de Laplace est à la verticale du centre de masse de la masse mL. Exprimer mL. On appelle [1] léquation obtenue. 
2.4. On considère à nouveau le cas oùSest une spire circulaire plane horizontale dans la configuration de la question2.1.de la partie A. La géométrie du champ r magnétique B0est identique à celle décrite dans la question1.2.de cette partie.
a. Le passage prolongé du courant I maintenu constant peut contribuer à augmenter la valeur du rayon R. Expliquer pourquoi.  b.  variationLorsque R augmente dune petite quantité dR, établir lexpression de la dFLz la composante, notée F deLz, suivant z de la force de Laplace en fonction notamment de B0r(R,0) et deB0r hormis(R,0) . La situation et la géométrie redS, R, restent inchangées. 
c. champ magnétique relative à son flux etRappeler la propriété fondamentale du donner léquation locale qui traduit cette propriété.  d. nopquxerpuetdRdimerFertronMLzen fonction de I, R et de la dérivée partielle par rapport à z de la composante verticale du champ, prise en un point du plan (Qm) vérifiant r = R. En déduire que : 1 dFLz= −1B0z On rappelle(R,0) . FLzdR B0r(R,0)z r quen coordonnées cylindriques, la divergence dun champ de vecteur B sécrit : div(B)=1(rBr)+1Bθ+ ∂Bz. rr r∂θ ∂z
e. 
En considérant notamment la carte du champ donnée au1.2.c.de la partie A, peut-on prévoir le signe de la variation relative de FLzavec R ? Commenter. Exprimer F1ddFRLz lorsquon = R fait le choix particulier Rmax, identifié au1.2.d. cette de Lz partie. 
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Partie B : Mesure dune force électromotrice dinduction  Lorsquun circuit conducteur est déplacé dans une région de lespace où règne un champ magnétique, une force électromotrice (f.é.m.) peut être induite dans le circuit. La détermination dune telle f.é.m. pour un champ radial est étudiée dans le paragraphe2., partie qui peut être abordée directement. Au1. dinduction,, on se propose danalyser le phénomène en étudiant le mouvement dune charge, puis celui dune barre conductrice, dans un champ magnétique.1. Mouvements dans un champ magnétique uniforme et stationnaire. 1.1. Particulecette question une particule portant une charge: on considère dans électrique q, assimilée à un point matériel de masse mq. Cette particule est susceptible de se déplacer dans lespace. On repère sa position à laide de ses coordonnées x, y, z dans un repère galiléen orthonormé dorigine O et de vecteurs unitaires (erx, ery, ez les axes Ox, Oy et Oz. Laxe Oz matérialise la verticale ascendante) suivant de lespace. La particule, initialement située dans le demi-espace z > 0, sur laxe Oz, est animée dun mouvement rectiligne uniforme de vitesserv0=v0rez, avec v0<0 . A t = 0, elle pénètre dans le demi espace z < 0, vide également, mais dans lequel règne r un champ magnétique uniforme et stationnaire Bu=Burex.
r a. Donner lexpression de la force de Lorentz FBexercée par le champ magnétique sur la particule, en fonction de la vitesserv  Bde la particule, de q et du champu. b. On suppose, dans toute la suite de cette question, quon peut négliger linfluence de la force de pesanteur sur la particule. Pourquoi ?
c. Montrer que, pour t > 0 et z < 0, la vitesse vr vreste de norme constante égale à0.
d.  > 0Montrer que, pour t le mouvement a lieu dans un plan orthogonal à < 0, et z r Bu.
e. En déduire que le mouvement, pour t > 0 et z < 0, seffectue selon une trajectoire portée par un cercle de rayon Ru. Exprimer Ru.
1.2. Barre rigide: on considère une barre conductrice QQ, rigide, filiforme et de section négligeable, de centre Q0, de longueur 2. Cette barre est maintenue parallèle à laxe Oy par un système de guidage. Durant toute létude, y compris dans la zone où règne un champ magnétique, la barre a un mouvement de translation rectiligne uniforme avec une vitesse constanterv0=v0erz v avec ,0<0 ; son centre Q0 astreint à se est déplacer dans le vide le long de laxe Oz. A t = 0, la barre pénètre dans le demi espace z < 0, vide également, mais dans lequel règne un champ magnétique uniforme et stationnaire Bu=Buerx(figure 3).
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Q
r ex
r ez
Q0
O
figure 3
Q
r Bu
r ey
 Pour t > 0, on suppose que le régime est permanent, quaucun courant ne circule dans la barre et que la conduction dans la barre est assurée par des électrons, de masse meet de charge q = - e. a. Expliquez qualitativement lapparition dun champ électrique dont laction sur les porteurs de charge compense exactement celle de la force magnétique. b. En utilisant la notion de champ électromoteur, montrer quil existe entre les extrémités Q et Q de la barre une différence de potentiel V=V(Q)V(Q') que
H lon exprimera en fonction de v0, Bu et. Pouvait-on prévoir le signe de VHpar lanalyse qualitative de la question précédente ? 2. Force électromotrice. On considère dans cette question, comme dans la question2. la partie A, un circuit de électriqueScomposé dune spire circulaire conductrice, de centre C, de plane indéformable, rayon R, et daxe CZ. Ce circuit est ouvert, et possède deux bornes A1 A et2 infiniment proches lune de lautre (figure 4).
A2 A1
S
O
Z z
C
figure 4
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B0(M)
(Qm)
2.1. Ce circuitS est placé, à linstant t = 0, dans le plan horizontal (Qm) passant par O, r dans une région de lespace où règne un champ magnétique B0« radial » de centre O, cest-à-dire un champ vérifiant, en tout point M du plan : r B0(M)=B0r(r,0)err et OMoù r = OM=rrer le champ créé dans(Cest, par exemple, leur plan médiateur par lensemble des deux bobines étudié au1.2.de la partie A). La spireSest centrée en faisant coïncider les points C et O. Laxe CZ, de vecteur unitairer r sur laxe Oz orthogonal en O au plan (, es alignéQm) :les  eZ=ezt coordonnées Z et z sont confondues ; l’axe commun est, de plus, orienté selon la verticale ascendante. v t A le point C est animé dune vitesse = 0,r0=v0rez, avec v0<0 . a.  dans = 0Montrer quil apparaît à tS différence de potentiel électrique une US=V(A1)V(A2) entre les deux bornes A1et A2. b. Montrer que USvérifie léquation [2] :
US= −2πRB0r(R,0)v0 [2]
c. Application numérique: R = 10,0 cm, Déterminer la valeur absolue de US.
B0r(R,0)=0,90 T ,
v0= - 12,0 mm/s.
2.2. est possible de généraliser lexpression [2] lorsque le circuit filiforme ouvertIl Snest r plus une spire plane, et que la carte des lignes de champ de B0 est quelconque. Donner lexpression de USsous la forme dune intégrale curviligne le long deS. On appellera [2] léquation obtenue. 2.3. On considère à nouveau le cas oùSest une spire circulaire plane horizontale. Divers phénomènes peuvent contribuer à augmenter la valeur du rayon R. La géométrie du r champ magnétique B0est identique à celle décrite dans la question1.2.de la partie A.
a. Lorsque R augmente dune petite quantité dR, exprimer la variation dUS de la différence de potentiel électrique US B, en fonction notamment de0r de(R,0) et 0situatio rBr n(R,0) , la et la géométrie deS, hormis R, restent inchangées. b. En saidant des résultats de la question2.4. de la partie A, établir queU1SddRUS= −B0r)0,R(1B0z Commenter.(R,0) . z
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Partie C : Mesure de la constante de Planck  Le même circuitSplacé dans les deux situations étudiées dans lesest successivement parties A et B. Dans la phase statique, on mesure donc la masse mL de satisfaire permettant léquation [1] du2. dans la phase dynamique on mesure la différence de ; la partie A de potentiel US léquation [2] duinduite par le mouvement, satisfaisant2.de la partie B. r 1. On suppose que ni la géométrie deS ni la carte du champ magnétique B0 nont évolué entre les deux expériences. 1.1. Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire :
2. 
3. 
USI= mLg v0 [3]
1.2.  A quelsQuelle est la dimension des différents termes de léquation [3] ci-dessus ? domaines de la physique appartiennent-ils ? On dispose aujourdhui détalons électriques dorigine quantique extrêmement stables et reproductibles : - étalons de tension sur leffet Josephson, qui permet, moyennant la mesure basés dune fréquenceνhf située dans le domaine des hyperfréquences, de relier une tensionquelconqueàunmultipleentierde2hνhfoù h est la constante de Planck e et e la valeur absolue de la charge de lélectron ; - étalons de résistance sur leffet Hall quantique, qui permet de relier une basés résistance quelconque à un sous-multiple entier de h2. e 2.1.  desA quelle partie du spectre des ondes électromagnétiques le domaine dit « hyperfréquences » correspond-il ? Indiquer, en fréquences et en longueurs donde, les ordres de grandeur correspondants. 2.2. rèApavsroiesprexsleénndotnasiudartsnoisdeuresmeslesUS et I utilisant les étalons électriques dorigine quantique, montrer que la relation [3] conduit à : hmLvg'0tante numérique pouvant être déterminée, etνhfet =Kνhfνhf, où K est une cons ν fréquences à mesurer lors de mesures de tensions.' deux hf 2.3. h fait intervenir la mesure duneAinsi, la détermination de la constante de Planck masse, et des mesures de grandeurs cinématiques : fréquence, vitesse, accélération Quel est lordre de grandeur de la meilleure incertitude relative avec laquelle de telles quantités peuvent aujourdhui être déterminées ?
Généralisation à un circuitSrigide, de forme géométrique quelconque. On se place dans le cas étudié au2.3.de la partie A et au2.2.de la partie B. En utilisant les expressions intégrales [1] et [2] trouvées respectivement dans les parties A et B, montrer que la relation [3] de la partie C reste satisfaite.
page 10
Partie D : Le concept dénergie On se propose dans cette partie daborder quelques activités dordre pédagogique en lien avec le thème de l« énergie », à divers niveaux de formation. 1. Le programme de physique, enseignement obligatoire, des classes de terminale, série scientifique, évoque dans plusieurs domaines la notion dénergie. 1.1. Dans la partie, jointe en annexe, sur la « Propagation dune onde ; ondes progressives », le programme énonce lune des propriétés des ondes mécaniques progressives sous la forme suivante : « - la perturbation se transmet de proche en proche ; transfert dénergie sans transport de matière ». Construire une réponse argumentée faite à un élève de terminale qui, en fin dannée scolaire, sinterroge sur la nature physique de lénergie qui se transfère. On sappuiera sur lun des deux exemples suivants : la corde ou les ondes sonores. 1.2.  du programme sur les aspects énergétiques de la partie sur l« ÉvolutionL extrait temporelle des systèmes mécaniques » est joint en annexe.
2. 
a. Établir, comme vous le feriez devant des élèves de TS, les expressions de lénergie mécanique dun système solide-ressort et de celle dun projectile dans un champ de pesanteur uniforme. Vous ajouterez les commentaires de nature physique que vous feriez noter aux élèves. b. Etude expérimentale: dans le cas du système « solide-ressort » : - décrire, avec précision, un système expérimental utilisable en travaux pratiques avec les élèves de TS permettant lenregistrement des oscillations. - présenter les principales étapes dune exploitation de cet enregistrement visant à étudier : les transferts dénergie et la conservation ou non conservation de lénergie mécanique. Lextrait du programme de mécanique du point matériel de la voie PCSI des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques sur la notion dénergie potentielle dans les problèmes à un degré de liberté est donné en annexe. Proposer un exercice dapplication illustrant lintérêt de la notion dintégrale première de lénergie. On donnera successivement :
- lénoncé de lexercice, - un corrigé succinct.
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