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Concours Centrale Supélec

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Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2004 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Avertissement Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction étudiée dans les parties II et III. Partie I - Calcul de la somme d'une série I.A - I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction -périodique impaire : , nulle en et , et égale à sur . Pour tout entier , expliciter la somme partielle de Fourier de . I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ? En déduire la valeur de . I.A.3) Calculer . I.B - I.B.1) Préciser le domaine d'existence dans de . Exprimer à l'aide de fonctions usuelles. I.B.2) Calculer l'intégrale . I.B.3) En déduire la valeur de . F 2π f IR IR? 0 π 1 ]0,π[ n 0≥ Sn f f Sn f( ) S 1–( ) n 2n 1+ --------------- n 0= ∞ ∑= S1 1 2n 1+( )2 ----------------------- n 0= ∞ ∑= IR L x( ) x 2n

  • d1f df

  • dérivée partielle

  • ∂f ∂x

  • somme partielle de fourier

  • filière mp

  • tz z

  • rayon de convergence


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Langue Français

Exrait

MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2002
1/4
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure
géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue
:
que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie
concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues
périodiques
ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-
tats des parties I et III pour montrer que la fonction
n’est dérivable en aucun
point de
.
On note
et
et on désigne par
l’espace des fonc-
tions de
dans
qui sont continues et
périodiques.
Si
on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour
par
, la série de Fourier (formelle) de
étant
.
Partie I -
Définition de la fonction
I.A -
On suppose l’espace
muni de sa structure euclidienne canonique. On
définit
:
par :
,
et
est la projection orthogonale de
sur la droite passant par
et
si
.
I.A.1)
On suppose
,
et l’on pose
,
,
,
,
,
.
Que représentent les points
par rapport au triangle
?
I.A.2)
Montrer que si
alors
,
.
I.B - Pour
on pose
et on définit par
récurrence pour
la suite
par
.
I.B.1)
Soit
,
. Montrer que, si l’on a
, alors
et
.
x
]0,
π
[
IR
2
π
x
]0,
π
[
IN
IN
\ 0
{
}
=
ZZ
ZZ
\ 0
{
}
=
C
2
π
IR
I
C
2
π
f
C
2
π
n
ZZ
f
ˆ
n
(
)
1
2
π
-----
f
t
(
)
π
π
=
e
i
nt
dt
f
f
ˆ
n
(
)
n
ZZ
e
i
nt
x
IR
2
T
IR
3
IR
3
T
x
x
0
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
=
T
x
y
z
,
,
(
)
x
'
y
'
z
'
,
,
(
)
=
x
'
y
=
y
'
z
'
,
(
)
y
z
,
(
)
x
0
,
(
)
y
z
,
(
)
x
y
z
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
x
y
z
0
A
x
0
,
(
)
=
B
y
z
,
(
)
=
C
y
z
,
(
)
=
A
x
'
0
,
(
)
=
B
y
'
z
'
,
(
)
=
C
y
'
z
'
,
(
)
=
x
'
y
'
z
'
,
,
(
)
T
x
y
z
,
,
(
)
=
A
B
C
,
,
ABC
x
y
z
,
,
(
)
x
x
0
,
,
(
)
y
'
x
'
2
z
2
y
x
(
)
y
x
(
)
2
z
2
+
-------------------------------
=
z
'
z
y
x
(
)
2
z
2
y
x
(
)
2
z
2
+
-------------------------------
=
t
]0,
π
[
X
0
t
(
)
0
1
cotan
t
, ,
(
)
=
n
IN
X
n
t
(
)
x
n
t
(
)
y
n
t
(
)
z
n
t
(
)
,
,
(
)
=
X
n
1
+
t
(
)
T
X
n
t
(
)
(
)
=
n
IN
t
]0,
π
[
z
n
t
(
)
0
=
z
n
1
+
t
(
)
0
=
y
n
1
+
t
(
)
x
n
1
+
t
(
)
0
=