Concours Commun post bac S 2007 Concours FESIC

Pavan

Description

Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Concours Commun post bac S 2007. Retrouvez le corrigé Concours Commun post bac S 2007 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2007
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2008
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• Langue: Français

Extrait

Terminale Smai 2007 Concours Fesic Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste. Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u,v) . On considère les pointsA d’affixei,Md’affixezetM’ d’affixez.’ avec z≠z' v On appelle :hl’homothétie de centreAet de rapport 2,tetla translation de vecteurrla rotation de π centreAd’angle . 2 a. Si, alors. M'=h ( M ) z'=2z−i b. Si, alors. M'=t ( M ) z'=z−i M'=r ( M ) [ M M' ] c. Si, alorsA.appartient à la médiatrice de d. SoitBa pour affixe.le point d’affixe. Le point 4−3i'=r ( B ) 3+4i Exercice 2 an complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;u,v) . On considère les pointsAetBd’affixes Le pl respectives a= −5+i15 et b=2 3+2i . n 2n π n∈a a. Soit. Un argument deest . 3 b.Oappartient à la médiatrice de [AB]. c.OABest un triangle rectangle enO. d. Le cercle circonscrit àOABa pour rayon 3. Exercice 3 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormalre les pointsA etB (O;u,v) , on considè d’affixes respectives 1 et 2i. On désigne par (E) l’ensemble des pointsMt par (F) l’ensemble d ’affixeszque telles z−2i=z−1  e  z−2i  π sztelles que arg= +2k π ,k∈¢ des pointsM, distincts deAetB., d’affixe    z−1  2 a. (E) est un cercle. b. Les pointsMde (F) décrivent un cercle sauf deux points. 1 1 c. Le pointCà (E) et (F).d’affixe appartient − +i 2 2 z−2i Z= d. (F) est aussi l’ensemble des pointsMtels que le complexesoit un nombre imaginaire pur. z−1 Exercice 4 Γ On donne les deux courbes C etci-dessous. [ 0 ;+ ∞ [ L’une de ces courbes représente une fonctionfdéfinie et continue sur; l’autre représente une [ 0 ;+ ∞ [ primitiveFdefsur . Γ On admettra quepossède l’axe des abscisses pour tangente enO(0, 0) et que C possède l’axe des ordonnées pour tangente en ce même point.

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a. estla courbe qui représentef. Γ 3 y

1

0,5

2,5

2

1,5

1

0,5

0 0

0,5

1

0,5

1

1,5

C

e 2

x + b. Pour tout, . x∈F ( x ) =f ( t ) dt ∫ 0 c. L’aire de la surface hachurée est la même que celle de la surface grisée. d.F.est deux fois dérivable en 0 et F'' ( 0 ) =0

Exercice 5 On considère quatre fonctionsf,g,hetkdéfinies sur courbes représentatives de ces fonctions.

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Courbe C 1

2

Γ

2,5

3

x

. On appelle respectivement C 1 , C 2 , C 3 et C 4 les

Courbe C 2

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Courbe C 3  CourbeC 4  π  a. − =x Quel que, . soit x∈g  x  f ( )  2  x∈h ( x ) =f ( x ) . b. Quel que soit, x∈f ( x ) −g ( x ) +h ( x ) −k ( x ) =0 c. Quel que soit, .  x  d. C 4 , associe.représente la fonction qui à x∈sin    2  Exercice 6 a. Soitfpar :la fonction définie sur. On cherche à savoir sifest dérivable en 0. [ 0 ;+ ∞ ] f(x)=x x On tient pour cela le raisonnement suivant : «f estle produit de la fonctionavec la fonction. Ces deux fonctions sont définies et x→xx→x continues sur, mais la fonctionn’est pas dérivable en 0. Il s’ensuit quef n’estpas [ 0 ;+ ∞ ] x→x dérivable en 0 en tant que produit de deux fonctions dont l’une n’est pas dérivable en 0. » Ce raisonnement est exact.   1 2 u u=1u=u+ b. On considère la suitedéfinie par :et pour toutn. On admetentier par ( n ) 0n+1  n  2u  n  que cette suite est bien définie () et qu’elle est convergente. On appellelsa limite. On cherche à u≠0 n savoir silest un nombre rationnel ou non. Pour cela on tient le raisonnement suivant : « Soit P(n) la phrase «est un nombre rationnel ». u n Initialisation :est un nombre rationnel doncest vraie. u= 0 1 P ( 0 ) Soitpentier tel que P(p) soit vraie. Montrons que P(p+1) est vraie. 2 D’après l’hypothèse de récurrenceest un nombre rationnel, il en est de même deainsi que de u p u p   1 2 u=u+ . Il s’ensuit que u est rationnel donc P(p+1) est vraie. p+1 p p+1   2u p   Conclusion : de ces deux assertions et d’après le principe de raisonnement par récurrence je déduis que pour toutnentier P(n) est vraie.lest alors la limite d’une suite de nombres rationnels, donclest lui-même un nombre rationnel. » Ce raisonnement est exact. c. L’espaceest rapporté à un repère orthonormal. On considère les pointsA(1 ; 0 ; −1), (O;i,j,k) Bet(4 ; 3 ; 0)COn veut prouver que(7 ; −1 ; 1).A,B etC déterminentun plan. Pour cela on tient le raisonnement suivant : AB ( 3 ; 3 ;1 ) AC ( 6 ;−1 ; 2 ) AB=19AC=41AB.AC=17 « On aet .Il s’ensuit :, et.

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B×AC≠AB.AC Comme ,les pointsA,BetCne sont pas alignés, ils déterminent un plan. » Ce raisonnement est exact. f ( x ) =E ( sinx )d. Soitfpar (fonction définie sur laEla fonction « désigne»). Onpartie entière cherche la limite éventuelle delorsquextend vers 0. On tient pour cela le raisonnement suivant : f ( x ) «f; on sait quedéfinie dans un voisinage de 0. On utilise le changement de variable est X=sinx lim sinx=0 , donc limX=0 . Par suite, et d’après le théorème de composition des limites, on a x→0x→0 . » limf ( x ) =limE ( X ) =0 x→0X→0 Ce raisonnement est exact. Exercice 7 xln ( 1+x ) −2 lnx lim=1 a. . 2 x→0 x x>0 lnx lim=0 b. . x x→+∞ e 2x x L’inéquation e+3e+2≤0 n’ c. apas de solution réelle. −x2 d. La fonction définie surpar possèdele tableau de variation suivant : f ( x ) =eln 1+x ( ) x −∞  0 +∞ f' ( x ) + − +∞+∞ f ( x ) 0 Exercice 8 3x On considère l’équation différentielle (E) : y'−3y=e . Soie ntf latelle quesolution de (E) définie sur −3x etgla fonction définie surpar . f ( 0 ) =1g ( x ) =f ( x ) e a. On a f' ( 0 ) =4 . x∈ , g' ( x ) =1 . b. Quelque soit 3x c. Quelque soit, . x∈f ( x ) =xe 3x x 3f ( x ) −e−2 d. Quelquesoit ,. x∈f ( t ) dt= ∫ 0 9 Exercice 9 e lnx On définit la suite I pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par I=dx . ( n ) n ∫ 1 x n 1 a. I= . 1 2 b. La suiteest croissante. I ( n ) 1  1  c. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a. 0≤I≤1− n   n−1 n−1  e 

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d. Pourtout entier natureln supérieurou égal à 2, une intégration par parties donne 2 1−n ( n−1 ) I=1−ne . n Exercice 10 On considère les trois suitesu,vetwdéfinies respectivement par :  u=0  v=5 0 0   , et. w=v−u  3u+2v  2u+3v nn n n nn n u=v=  n+1  n+1 55 1 a. La suitewest une suite géométrique de raison. 5 b. La suiteuest croissante. c. Les suitesuetvsont convergentes. n∈u≤u≤v d. Quelque soit, . n n+1n Exercice 11  3 u= 0  2 u−2 n v= On considère les suitesuetvdéfinies par :et .  n −2 u−1  n u= n+1  u−3  n n∈1<u<2 a. Quelque soit, on a :. n b. La suiteuest convergente. v= −1 c.vest une suite géométrique de raison 2 et de premier terme. 0 1 n∈u=1+ d. Pour tout, on a :. n n 1+2 Exercice 12 n−1 Soit ,. On considère la fonctiondéfinie surpar .On appellera C n 0 ;+ ∞ln n∈n≥2f ] [ f n ( x ) =x x n f la courbe représentant la fonctiondans un repère du plan. n a. Quelque soit, ,les courbes C n possèdent l’axe des ordonnées pour asymptote. n∈n≥2 b. Soit. On a. x∈1 lim0 ; ] [ f n ( x ) = −∞ n→+∞ c. Quelque soit, ,les courbes C n possèdent une tangente commune au point d’abscisse 1. n∈n≥3 n n 1−x ∑ x∈1 ;+ ∞n∈n≥2f x= ×x d. Soientet ,. on a. ] [ k ( ) ln 1−x k=2 Exercice 13 Soitnentier supérieur ou égal à 2. On considère deux urnes unU 1  etU 2 chacune contenantn boules blanches etnboules noires. On jette un dé cubique équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. Si le résultat est pair, on prélève au hasard, successivement avec remise intermédiaire, deux boules deU 1 . Si le résultat est impair on prélève au hasard, successivement sans remise intermédiaire, deux boules de U 2 . On appelleNl’événement « obtenir deux boules noires ». On désigne parla probabilité de l’événementNprobabilité de l’événement, laN p ( N ) p U ( N ) 1 sachant que les deux boules tirées proviennent deU 1 probabilité de l’événement, laNsachant p ( N ) U 2 que les deux boules tirées proviennent deU 2 .

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1 a. La probabilité d’obtenir deux boules noires deU 1 est . 8 b. Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a. p ( N ) =p ( N ) U U 1 2 c. . p Nmp N lim U ( ) =li U ( ) 1 2 n→+∞n→+∞ 4n−3 d. Pour tout entiern.supéri on eur ou égal à 2,a p ( N ) = 8 ( 2n−1 ) Exercice 14 Une usine fabrique des détecteurs de fumée. Ces détecteurs disposent chacun d’une durée de vie aléatoire (en mois) représentée par une variable aléatoire T. + nentielle de paramètreoù * Cette variable suit une loi de probabilité expo λ λ ∈¡ , dont la loi de − λ t densité est la fonction f définie par : f t=0 pour t≤0 et t>0 . λλ ( ) f λ ( t ) = λ e pour Les tests indiquent qu’un détecteur donné a 1 chance sur 2 de tomber en panne à la fin de son premier mois de bon fonctionnement. En cas de panne, le détecteur défaillant est immédiatement remplacé par un détecteur neuf. Un contrôle est effectué chaque mois après l’installation du premier détecteur. On admet que le fonctionnement des détecteurs est indépendant d’un détecteur à un autre. On désire équiper une petite salle avec l’un de ces détecteurs de fumée. a. . λ =ln 2 b. La probabilité de changer au moins une fois le détecteur lors de l’un des deux premiers contrôles est égale à 1. c. La probabilité de changer le détecteur une fois et une seule lors de l’un des cinq premiers contrôles est 5 égale à. 32 d. Pourtout entier supérieur ou égal à 1, la probabilité que le détecteur ne soit pas changé lors desn 1 premiers contrôles est égale à. n 2 Exercice 15 (O;i,j,k) L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère les pointsA(−1 ; 2 ; 4),B(0 ; −2 ; 3), C(7 ; 1 ; −1) etD(−2 ; −2 ; −13). On appelle P le plan médiateur de [AB], c’est-à-dire le plan contenant les points équidistants deAet de Bou aussi le plan perpendiculaire à [AB] contenant le milieu de [AB]. On appelle Q le plan médiateur de [CD]. a. Le vecteur de coordonnéesest normal à Q. ( 8 ;−1 ;−5 ) x+4y+z+4=0 b. Le plan P a pour équation. e Ω ( −1 ; 2 ;−5 ) c.A,B,CetDappartiennent à une même sphère de centr. d. L’ensemble des pointsMest la sphère de diamètre [tels queAB]. AM.BM=0 Exercice 16 L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère les ensembles P, Q et R (O;i,j,k) d’équations respectives P : x+y=0 ; Q : 2x−y−z−1=0 ; R : z=1 . a. P est une droite. b. L’ensemble des points appartenant à la fois à P et à R est une droite. c. P et Q sont perpendiculaires.

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 2 2  A;−; 1 d. P, Q et R se coupent au point.    3 3 

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