Concours Sciences-Po Paris - Corrigé Mathematiques - 2018

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Concours entrée Sciences-Po Paris - Corrigé du Sujet épreuve de Mathématiques - 2018

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• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 14 février 2019
• Nombre de lectures: 4 043
• Langue: Français

Extrait

- freemaths.fr

e
Analyse I, 2édition - Alain Piller

Fonctions, Intégrales, T. S - freemaths.fr

Thème surfreemaths.fr(

Suites, T. S

Fonctions, Intégrales, T. S

Probabilités Discrètes, T. S

Probabilités Discrètes, T. ES

Géométrie dans l’Espace, T. S

freemaths . fr

)

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

b
2 2
f(x) = ax+ -( ln (x) )
2
x
Df; += ] 0'[ .

f; +est dérivable sur ] 0'[ car la fonction " ln " est dérivable sur ] 0; +'[ .
3

strictement positif,

freemaths . fr:Fonctions, Intégrales, T. S

e
Analyse I, 2édition - Alain Piller

f; +est dérivable sur ¨ comme fonction polynôme, donc dérivable sur ] 0'[ .
1

2
fest dérivable sur ] 0; +'[, avec pour toutxx @ '[:x0 .
2

Ainsi, nous pouvons calculerf ’pour toutxx @ '[ .

Ici:

1. Montrons que pour tout

Posons:

f=f+f+f, avec:
1 23

+
2

Donc,fest dérivable sur ] 0; +'[ comme somme( +
1
dérivables sur ] 0; +'[ .

)de 3 fonctions
3

1

f ’(x) = 2 ax
1

- 2 b
f ’(x) =
2
3
x

2 b2ln ( )
’ ( ) = 2 a- - :
3

T. ES

( 8 points )

PROBLÈME

2b2
f(x) = ax,f(x) = et f(x) = -( ln (x.) )
1 23
2
x

Partie A:

Pour toutx x @ '[:

freemaths . fr

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

1 1
2 2
( ) = + - ( ln () )
2
4 4

2 b2ln ( )
.
’ ( ) = 2 a- -
3

2
- 2ln (x)
f ’(x) =.
3
x

D’où pour toutx x @ '[ :

D’après l’énoncé:

1 12ln ( )
’ ( ) = - -.
3
2 2

2. Déterminons les réels a et b:

1
f ’(x) = - 2 x( ln (x) ) x cad:
3
x

D’où:

a + b = 0, 5a + b = 0, 5
<=> .
2 a- 2b = 0a = b

Nous pouvons alors écrire, pour toutxx @ '[ :

1 1
a = et b = .
4 4

f= 0, 5( 1 )
<=>
f ’( 1 )= 0

Cf),1 ;0, 5passe par le point A (

a = 0, 25 et .b = 0, 25

Cfadmet une tangente horizontale au point A,

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

donc:

Ainsi, les réels a et b ont pour valeurs:

Nous avons donc le système suivant:

freemaths . fr

’.( 1 )= 0

donc:

( 1 )= 0, 5,

Partie B:

2
1. a. Factorisons l’expression 2X -4 X+ 2:

2 2
2 X-4 X +X2 = 2 (-2 X+ 1)

Ainsi:

2
=X2 (-1 ).

2 2
2 X-4 X+2 = 2 (X-1 ).

4 2
1. b. Déduisons-en une factorisation de l’expression 2-4+2:

Posons:

D’où:

2
X =x.

2 4 2
2X -4 X+ 2 = 2x-4x+2 .

2 2
Dans ces conditions, comme 2X- 4X + 2 = 2 (X - 1) ,une factorisation de
4 2
l’expression 2x-4x+2 s’écrit:

4 22 2
2-4+2 = 2 (-1 ), pour tout

Notons qu’on aurait pu aussi écrire:

.

4 22
2-4+2 = 2 [ (-(1 )+]1 )

2 2
=2 (-1 )(+.1 )

4 2
2. Déterminons le signe de l’expression 2-4+2 en fonction de:

Pour toutxx f QRXV VDYRQV TXH

4 2 2 2
x-4x+2 = 2 (x-1 ).

4 2 2 2
Ainsi le signe de l’expression 2x-4x+2 dépend du signe de (x-1 ).

Distinguons 2 cas:

2 2
pourx= 1 et x= - 1,(-= 0,1 )

pourxx @-'1 [;

Donc, pour tout nombre réelx:

freemaths . fr

] -1 ;1 [

] 1;+' [,(

4 2
2-4+2 = 2 (

2 2
-.> 01 )

2 2
-1 )z

3

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

Partie C:

1. Déterminons le sens de variation de la fonction g sur ] 0; +

Ici:

1
2
g (x) =x- -4 ln(x)
2
x

Dg = ] 0; +' [ .

Etape 1:détermination de g’pour tout ] 0; +[

Posons:

g = g+ g+ g , avec:
1 2 3

[:

4

1
2
g (x) =x, g(x) =- et g(x) =- 4 ln(x.)
123
2
x

g estdérivable sur ¨ comme fonction polynôme, donc dérivable sur ] 0; +'[ .
1

g estdérivable sur ] 0; +'[, avec pour toutxx] 0; +'[:
2

2
x0 .

g estdérivable sur ] 0; +'; +[ car la fonction " ln " est dérivable sur ] 0'[ .
3

Donc, g ; +est dérivable sur ] 0'[ comme somme+ g)( g+ gde 3 fonctions
1 2 3
dérivables sur ] 0; +'[ .

Ainsi, nous pouvons calculer g’pour toutxx @ '[ .

Pour toutxx @ '[:

g’(x) = 2x
1

2
g ’( x) =
2
3
x
4
.
g’(x)
=3
x
2 4
.
D’où pour toutxx @ '[ :g’ ( ) = 2+ -
3

Etape 2:détermination du signe de g’pour tout ; +] 0[

freemaths . fr

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

g (1 )= 0, donc sur ] 0; +'[, nous allons distinguer 2 cas:

Pour toutxx @ '[:

Nous avons:

freemaths . fr

3
> 0
2 2
2 (- 1)
g’=( ) z
3

si g (; 1 ], alors:] 0 { J
( carla fonction g est croissante sur ] 0; 1 ] ),

5

En réduisant au même dénominateur, nous obtenons, pour toutxx @ '[ :

Donc ici, pour toutx x @ '[ nous pouvons affirmer que:

si ; +[, alors:g (] 1 z J
( carla fonction g est croissante sur ] 1; +'.[ )

2 4
g’(x) = 2x+ - .
3
x x

4 24 2
2x+ 2 - 4x2+ 2- 4
g’(x) = cad: g’=( ) .
3 3
x

[:

2. b. Déduisons-en le signe de la fonction g sur ] 0; +

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

1
2
g (1 )= (1 )-1 )- 4 ln ( cad:
2
( 1 )

Comme, pour toutxx @ '[, g’(x