Corrigé Bac S Amérique du Nord

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• Publié par: E-Orientations
• Publié le: 26 avril 2019
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• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigéBaccalauréatSAmériqueduNord29mai2018\
Exercice1 6points
Communà touslescandidats
PartieA-Démonstrationpréliminaire
1. La fonction G sera une primitive de g sur [0 ; +∞[ si et seulement si elle est dérivable sur
[0;+∞[etquesafonctiondérivéeestlafonctiong.
Aveclesrèglesdecompositionetdeproduitdefonctionsclassiques, lafonctionG
esteffectivementdérivablesur[0;+∞[,etpourtoutt réelpositif,ona:
� �
′ −0,2t −0,2t −0,2t −0,2tG (t)=(−1)×e +(−t−5)×(−0,2)e = −1+0,2t+0,2×5 e =0,2te =g(t).
LafonctionG estdoncbienuneprimitivedeg sur[0;+∞[.
2.
Enappliquantladéfinitiondel’espérance,rappeléedansl’énoncé,onvacommencerparcalculerl’intégraledeg entre0etx :
Z h ix x
−0,2x −0,2×0 −0,2x −0,2xg(t)dt= G(t) =G(x)−G(0)=(−x−5)e −(0−5)e =−xe −5e +5
00
Déterminonsmaintenantlalimitedecetteintégralequandx tendvers+∞.
−0,2xPuisquecettelimiteestadmisedanslesujet,ona: lim xe =0.
x→+∞
Comme−0,2estnégatif,ona:
y −0,2xlim −0,2x=−∞,or lim e =0,donc,parcomposition: lim e =0.
x→+∞ y→−∞ x→+∞
Finalement,parlimitedelasommedefonctions,ona:
Zx
−0,2x −0,2xlim g(t)dt= lim −xe −5e +5=5.
x→+∞ x→+∞0
Enconclusion,onabienétabliquel’espéranceE(X)estbienégaleà5.
PartieB-Étudedeladuréedeprésenced’unclientdanslesupermarché
T−40′ ′1. PosonsT lavariablealéatoiredéfinieparT = .PuisqueT
suituneloinormaled’espéσ
′rance40etd’écart-typeσ,onpeutdirequeT suitlaloinormalecentréeetréduite.
� �
10−40′Par ailleurs les évènements (T <10) et T < sont équivalents, et ont donc la même
σ
probabilité.
Enutilisantlacalculatriceaveclafonctioninversantlaloinormalecentréeréduite,onobtient
10−40 −30
quelaborne = doitêtreenvironégaleà−1,4985.
σ σ
−30
Enrésolvant,onaσ≈ ,soitσ≈20,0198min,soit,endonnantunarrondiàlaseconde
−1,4985
près,20min01s.(car0,0198×60≈1,2)
Remarque : Ici la modélisation implique que les valeurs prises par T peuvent être négatives,
etcedefaçonnoncomplètement négligeable,puisquelaprobabilitéd’avoirT négatifvaêtre
prochede0,025, le0étantpresqueégalàμ−2σ.Cela peutsembler déstabilisant, maisici,la
modélisationestdonnéeetn’estpasàremettreencause.
2.
Puisqueletempsestexpriméenminutes,uneheurecorrespondà60minutes,etdonclaprobabilitécherchéeestobtenueàlacalculatrice:
P(T>60)=1−P(T<60)≈0,1587.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Puisquelaquestionestposéeentermedeproportion,onvasupposerquelamodélisationest
fiable et que les probabilités sont assimilables à des proportions, et donc qu’environ 15,9 %
desclientspassentplusd’uneheuredanslesupermarché.
PartieC-Duréed’attentepourlepaiement
1. a. Pour la durée d’attente moyenne d’attente des clients, on va utiliser l’espérance de la
variablealéatoiredonnantleurtempsd’attente.
−1Comme cette variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre 0,2min , on est
exactement dans la situation étudiée à la Partie A et donc on va en utiliser le résultat :
laduréemoyenned’attenteauxcaissesautomatiquesestde5minutes.
b. SionnoteX lavariablealéatoire,laprobabilitéqu’unclientattendeplusde10minutesest
donc: Z10
−0,2t −0,2×10 −2P(X>10)=1−P(X<10)=1− 0,2e dt=e =e ≈0,135.
0
−3À 10 près, la probabilité qu’un client attende plus de dix minutes aux bornes
automatiquesestdoncde0,135.
2. Puisque l’on choisit au hasard un client du magasin, on est en situation d’équiprobabilité et
lesproportionssontassimilablesàdesprobabilités.
Notonsplaproportiondeclientschoisissantlescaissesautomatiques.Onpeutalorsvisualiser
lasituationàl’aidedel’arbresuivant:
S
0,86
B
0,14p S
1−p S0,63
B 0,37
S
B etB formantunepartitiondel’univers,onutiliselaloidesprobabilitéstotales:
� � � �� � � � � � � �
P(S)=P S∩B +P S∩B =P B ×P S +P B ×P S =p×0,86+(1−p)×0,63B B
Finalement:P(S)=0,63+p(0,86−0,63)=0,63+0,23p.
Pourqueplusde75%desclientsattendentmoinsdedixminutes,ondoitavoir:
P(S)>0,75 ⇐⇒ 0,63+0,23p>0,75
⇐⇒ 0,23p>0,12
0,12
⇐⇒ p>
0,23
Laproportionminimaledeclientsdevantchoisirlescaissesautomatiques,sionveutqueplus
12
de75%desclientsattendentmoinsdedixminutesestdoncde ,soitenviron52,2%.
23
PartieD-Bonsd’achat
1. Pourunmontantde158,02(,leclientobtient15cartes.
— Chaquecartepeutêtregagnante(considérécommesuccès).
Puisque la distribution d’une carte est assimilable à un tirage au sort dans le stock de
cartes,onvaassimiler
laproportiondecartesgagnantesàlaprobabilitéqu’unecartedistribuéesoitgagnante.
Laprobabilitédusuccèsestdoncdep=0,005.
AmériqueduNord 2 29mai2018BaccalauréatS A.P.M.E.P.
— Leclientreçoit15cartes.
Puisque l’on ditque la distribution est assimilable à untirageavec remise,la distribution
des15cartesestconsidérée commela répétition 15 foisdefaçonindépendante dela
distributiond’unecarte.
— Ons’intéresseaunombreN decartesgagnantesreçuesparleclient.
Lesélémentscitésci-dessuspermettentdedirequelavariablealéatoireN suitlaloibinomiale
deparamètresB(15; 0,005),etdonc:
� !
15 0 15 15P(N>1)=1−P(N=0)=1− 0,005 ×0,995 =1−0,995 ≈0,072.
0
−2Laprobabilitéquececlientaitaumoinsunecartegagnanteestde0,07,à10 près.
2. Ladémarchevaêtresimilaire,saufquelenombrederépétitionsvaêtrevariable.Sionnotenle
nombredecartesreçues,etquel’onconsidèreN ,lavariablealéatoiresuivantlaloibinomialen
deparamètresn et0,005alorsonaura:
� !
n 0 n nP(N >1)=1−P(N =0)=1− 0,005 ×0,995 =1−0,995 .n n
0
Résolvons:
nP(N >1)>0,50 ⇐⇒ 1−0,995 >0,5n
n⇐⇒ −0,995 >−0,5
n⇐⇒ 0,995 60,5
⇐⇒ nln(0,995)6ln(0,5) carlafonctionlnestcroissantesur[0;+∞[
ln(0,5)
⇐⇒ n> carln(0,995) estnégatif.
ln(0,995)
ln(0,5)
Comme ≈138,3 etquen doitêtreentier, ilfautavoirn>139, etc’estdoncàpartir
ln(0,995)
de1390(quelaprobabilitéd’avoiraumoinsunecartegagnantedépasse0,5.
Exercice2 4points
Communà touslescandidats
1. Puisque la fonction f est dérivable, et que l’on connaît sa fonction dérivée, on va étudier le
signedelafonctiondérivéepourconnaîtrelesvariationsdelafonction f.
Soitx dans[0; 1[.Onax<1etdonc,0<1−x.
′ ′Le dénominateur de f (x) étant strictement positif, le signe de f (x) est le signe du
numérateur,quiestunequantitéaffine,decoefficientdirecteur−b négatif(puisqueb estsupérieurà
b−2
2)etdonconaurabienunefonctiondérivéed’abordpositive,pourx6 ,puisnégative.
b
b−2 2
Onremarquele nombre =1− est unnombreinférieur à 1et positif, carb est un réel
b b
positif,supérieurà2.
� �
b−2
On peut donc affirmer que la fonction f est croissante sur l’intervalle 0; et
décroisb� �
b−2
santesur ; 1 .
b
b−2 2
Cesvariationsindiquentque f atteintunmaximumpourx= =1− .
b b� � � � � � �� � �
2 2 2 2
Cemaximumestdonc f 1− =b× 1− +2ln 1− 1− =b−2+2ln .
b b b b
� �
2
Lemaximumdelafonction f s’établitbienàb−2+2ln .
b
AmériqueduNord 3 29mai2018BaccalauréatS A.P.M.E.P.
� �
2
2. Sionessayederésoudrel’inéquationb−2+2ln 61,6,onseretrouvedevantuneéquation
b
quel’onnesaitpasrésoudredefaçonexacte.
Onpeutdoncprocéderàtâtons,parexplorationàlacalculatricepourdonneruneréponse.
Laméthodelapluscomplèteseraitlasuivante:
� �
2
Posonsm lafonctiondéfiniesur[2;+∞[parm(b)=b−2+2ln =b&#