Corrigé Bac S Polynesie

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• Publié par: E-Orientations
• Publié le: 26 avril 2019
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Extrait

1−0,06=0,94
1−0,98=0,02
0,92
[CorrigédubaccalauréatSPolynésie20juin2018\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Lamunicipalitéd’unegrandevilledisposed’unstockdeDVDqu’elleproposeenlocationauxusagers
desdifférentesmédiathèquesdecetteville.
Afinderenouvelersonoffredelocation,lamunicipalité décidederetirerdesDVDdesonstock.
ParmilesDVDretirés,certainssontdéfectueux,d’autresnon.
Parmiles6%deDVDdéfectueuxsurl’ensemble dustock,98%sontretirés.
On admet par ailleurs que parmi les DVD non défectueux, 92% sont maintenus dans le stock; les
autressontretirés.
PartieA
OnchoisitunDVDauhasarddanslestockdelamunicipalité.
Onconsidèrelesévènements suivants:
D :«leDVDestdéfectueux»,etR :«leDVDestretirédustock».
Onpeutreprésenterlasituationparunarbrepondéré.
R
D
R
R
D
R
1. D’aprèslaformuleesprobabilitéstotales:
� � � �
P(R)=P(D∩R)+P D∩R =P(D)×P (R)+P D ×P (R)=0,06×0,98+0,94×0,08=0,134.D D
2. Uneassociationcaritativecontactelamunicipalité dansl’objectifderécupérerl’ensemble des
DVDquisontretirésdustock.Unresponsabledelaville
affirmealorsqueparmicesDVDretirés,plusdelamoitiéestcomposéedeDVDdéfectueux,autrementditqueP (D)>0,5.R
P(D∩R) 0,06×0,98
OncalculeP (D)= = ≈0,44.R
P(R) 0,134
L’affirmationduresponsableestdoncfausse.
PartieB
Une desmédiathèques delaville sedemande si lenombredeDVDdéfectueux qu’elle possède n’est
pas anormalement élevé. Pour cela, elle effectue des tests sur un échantillon de 150 DVD de son
propre stock qui est suffisamment important pour que cet échantillon soit assimilé à un tirage
successifavecremise.Surcetéchantillon,ondétecte14DVDdéfectueux.
1−0,92=0,08
0,98
0,06
A.P.M.E.P.BaccalauréatS-Corrigé A.P.M.E.P.
L’échantillon estdetaillen=150etlaprobabilitéselonlaquelleunDVDestdéfectueuxestp=0,06.
n= 150> 30, np= 9> 5 et n(1−p)= 141>5 donc on peut déterminer l’intervalle de fluctuation
asymptotiqueauseuilde95%delaproportiondeDVDdéfectueux:
" #p p
p(1−p) p(1−p)
I= p−1,96 p ; p+1,96 p
n n
" #p p
0,06(1−0,06) 0,06(1−0,06)
= 0,06−1,96 ; 0,06+1,96 ≈[0,022; 0,098]p p
150 150
14
LafréquencedeDVDdéfectueuxdansl’échantillon considéréest f = ≈0,093.
150
Cette valeur appartient à l’intervalle I donc on ne peut pas rejeter l’hypothèse selon laquelle, dans
cettemédiathèque,6%desDVDsontdéfectueux.
PartieC
UnepartiedustockdeDVDdelaville estconstituée deDVDdefilmsd’animation destinésaujeune
public.Onchoisitunfilmd’animationauhasardetonnoteX lavariablealéatoirequidonneladurée,
enminutes, decefilm.X suituneloinormaled’espéranceµ=80minetd’écart-typeσ.
Deplus,onestimequeP(X>92)=0,10.
1. Onvautiliserunchangementdevariableetreveniràlaloinormalecentréeréduite;siX suitla
X−80
loinormaled’espérance80etd’écart-typeσ,onsaitquelavariablealéatoireZ= suitla
σ
loinormalecentréeréduite.
X−80 12 12
X > 92 ⇐⇒ X−80>12 ⇐⇒ > ⇐⇒ Z> donc P(X> 92)= 0,10 équivaut à
σ σ σ� �
12
P Z> =0,10.
σ
Deplus,onsaitque,pourdesraisonsdesymétrie,P(Z>α)=P(Z6−α)doncP(X>92)=0,10� �
12
équivautàP Z6− =0,10sachantqueZ suitlaloinormalecentréeréduite.
σ
Àlacalculatrice,ontrouvequelenombreβtelqueP(Z6β)=0,10estenvironégalà−1,28155.
12
Onadonc− ≈−1,28155 cequidonneσ≈9,36.
σ
2. Unenfantregardeunfilmd’animationdontilneconnaîtpasladurée.Ilenadéjàvuuneheure
et demie donc 90 minutes. La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui
suivent,c’est-à-direavant95minutes, est:� �
P (X695)∩(X>90) P(906X695) 0,08816
P (X695)= = = ≈0,62X>90
P(X>90) P(X>90) 0,14268
EXERCICE 2 6points
Communàtouslescandidats
Danscetexercice,ons’intéresseauvolumed’uneampoulebasseconsommation.
PartieA-Modélisationdelaformedel’ampoule
� �→− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthonormé O; ı ,  .
OnconsidèrelespointsA(−1; 1),B(0;1),C(4;3),D(7;0),E(4;−3),F(0;−1)etG(−1;−1).
Onmodéliselasectiondel’ampouleparunplanpassantparsonaxederévolutionàl’aidedelafigure
ci-dessous:
Polynésie 2 20juin2018b
b
b
b
b
b
b
BaccalauréatS-Corrigé A.P.M.E.P.
C
A B
→−
 D
O →−
ı
FG
E
Lapartiedelacourbesituéeau-dessusdel’axedesabscissessedécomposedelamanièresuivante:
• laportionsituéeentrelespointsAetBestlareprésentationgraphiquedelafonctionconstante
h définiesurl’intervalle [−1; 0]parh(x)=1;
• laportionsituéeentrelespointsBetCestlareprésentationgraphiqued’unefonctionf définie
� �
πsurl’intervalle[0;4]par f(x)=a+bsin c+ x ,oùa,b etc sontdesréelsnonnulsfixésetoù4� �πleréelc appartientàl’intervalle 0; ;
2
• laportionsituéeentrelespointsCetDestunquartdecercledediamètre[CE].
La partiede lacourbe située en-dessous del’axe desabscisses est obtenue parsymétrie par rapport
àl’axedesabscisses.
′1. a. Onappelle f lafonctiondérivéedelafonction f.
� �π π′Pourtoutréelx del’intervalle [0;4], f (x)=b cos c+ x .
4 4
b. LestangentesauxpointsB(d’abscisse0)etC(d’abscisse4)àlareprésentationgraphique
′ ′delafonction f sontparallèles àl’axedesabscisses;donc f (0)= f (4)=0.
� �π ππ′f (0)=0⇐⇒ b cos(c)=0⇐⇒ cos(c)=0;orc∈ 0; doncc= .
24 2� �� �π π π π 3π′Vérification: f (4)=b cos + ×4 =b cos =0
4 2 4 4 2
� �π π
Onpeutdoncdireque f(x)=a+bsin + x .
2 4
� �π
2. Onsait que lacourbepasse parlepoint B(0; 1)donc f(0)=1et donca+bsin
=1c’est-à2
direa+b=1.
� �π π
On sait que la courbepasse par le point C(4; 3) donc f(4)=3et donc a+bsin + ×4 =3
2 4� �
3π
c’est-à-direa+bsin =3etdonca−b=3.
2
( ( (
a+b = 1 2a = 4 a = 2
Onrésoutlesystème ⇐⇒ ⇐⇒
a−b = 3 b = 1−a b = −1
� �π π
Donc f(x)=2−sin + x .
2 4
PartieB-Approximationduvolumedel’ampoule
Polynésie 3 20juin2018b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
BaccalauréatS-Corrigé A.P.M.E.P.
Par rotation de la figure précédente autour de
Cl’axe des abscisses, on obtient un modèle de
l’ampoule.
Afin d’en calculer le volume, on la décompose
A B
entroispartiescommeillustréci-contre.
D
Onrappelleque:
′O O
• levolumed’uncylindreestdonnéparla
2 Fformuleπr hoùr estlerayondudisque G
debaseeth estlahauteur;
• le volume d’une boule de rayon r est
4 E3donnéparlaformule πr .
3 Vuedansleplan(BCE)
� �
πOnadmetégalementque,pourtoutréelx del’intervalle [0;4], f(x)=2−cos x .4
� �π π
Remarque–Onavaitvuprécédemmentque f(x)=2−sin + x .
2 4� � � �π πOr,pourtoutX,sin +X =cos X .Donconpeutécrire f(x)souslaforme2−cos x .( ) 42
1. LecylindredesectionlerectangleABFGapourbaselecercledecentreOetderayonOB=1et
2pourhauteurAB=1;sonvolumeestdoncπ×1 ×1=πunitésdevolume.
′2. Lademi-sphère desection ledemi-disque dediamètre[CE] apourrayonO C=3;sonvolume
1 4 3estdonc × π×3 =18πunitésdevolume.
2 3
′3. PourapprocherlevolumedusolidedesectionlazonegriséeBCEF,onpartagelesegment[OO ]
4 4
enn segmentsdemêmelongueur puisonconstruitn cylindresdemêmehauteur .
n n
a. Cas particulier : dans cette question uniquement on choisit n= 5, et on va calculer le
volumedutroisièmecylindre,engrisfoncédanslesfiguresci-dessous.
′OO 4
Lahauteurdececylindreestdo