CPI 2001, corrigé1 11e f=−e=− ≈−1, 36 22 2 EXERCICE 1 2 3 4x8x 2x3 3)e=1+2x+ + +xε(x)donc Probabilités, hors programme du BTS CPI depuis 2006. 2 6 2 33 4x8x32x3 f x=x−1 1+2x+ + +xεx=−1− ( )( )( )x+ +xε(x) EXERCICE 2 2 63 2x A)On veut résoudrey′−2y=e Tangente en 0:y=−1−x, positions relatives de Cf et T: 1) Pour cela on considère dabord léquation homogène associée 33 2x32x 2x y′−2y=0, dont la solution deEestu(x)=µe,µ∈Rf(x)−y= +xε(x)localement du signe de, donc négatif à 0{ } 33 2x2)h(x)=xe, je vérifie que cest une solution particulière deE. Pour gauche et positif à droite Cf dessous puis dessus et traverse T en 0 2x Le point (0;-1) est unpoint dinflexionpour Cf, cest-à-dire un point où la courbe traverse sa cela je dériveh′(x)=(1+2x)eet je remplace dansE: . Ce tangente. Autrement dit, un point oùf′′(x)=0ci est toujours le cas quand, dans le DL, le 2x2x2x h′x−2h x=1+2x e−2xe=efficientxent de la formule de Taylor : 2 ( )( )( )est nul. Cela vicoe de 2 32xx x3 f(x)=f(0)+xf′(0)+f′′(0)+f(0)+xε(x). ′′′3) La solution deEest donc{f(x)=(x+µ)e,µ∈R}2! 3! 02x4)f(0)=−1⇔(µ)e=−1⇔µ =−1doùf(x)=(x−1)e 2x B)1) en+∞,(x−1)→+∞ete→+∞donclimf= +∞ +∞ α 2x2x2x En−∞, on sait que (indication)xe→0doncxe−e→0doù 2x (x−1)e→0doùlimf=0horizontale, asymptotey=0en−∞. x→−∞−∞ −x−x−x 2)f′(x)=(1)e+2(x−1)e=(2x−1)e 1 f′(x)≥0⇔2x−1≥0⇔x≥ 2 −∞1/2+∞ x f(x) –0+ 0 +∞ f