Corrige BTSSE Mathematiques 2001

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πBTS SE 2001, corrigé, par Elodouwen 1 1 1 2⎡ ⎤sintcos(2t)dt = −1+ −1 = −∫ ⎢ ⎥0 2 3 3 3⎣ ⎦EXERCICE 1PARTIE A 2) 11) On va utiliser la formule sinacosb = sin a+b +sin a−b qui ⎡ ( ) ( )⎤⎣ ⎦2figure dans le formulaire.Alors:1(courbe réalisée avec Géogébra )π π1sintcostdt = (sin(2t)+0)dt . (En fait il s’agit d’un cas e n’est ni paire ni impaire, ni la somme d’une constante et d’une ∫ ∫0 02fonction impaire, donc on ne peut pas dire que les an ou les bn seront particulier de la formule, c’est simplement la duplication du sinus, nuls.c’est-à-dire sin2t =2sintcost )ππ 1 1 1 π⎡ ⎤ Allons-y:sintcostdt = − cos(2t) = − ⎡cos(2t)⎤⎣ ⎦∫ ⎢ ⎥ 00 2 2 4⎣ ⎦0π 1 2πsintcostdt = − cos 2π −cos 0 =0( ( ) ( )) ω = =1∫0 4 T2π1a = e(t)dt , je restreins à [0;π] car dans [π;2π] e(t) est nul:0π π ∫1 02πsintcos(2t)dt = (sin(3t)+sin(−t))dt∫ ∫0 0 π2 1 1 πa = sintdt = [−cost] , attention au signe –, il est fortement 0π π ∫ 01 02π 2πsintcos 2t dt = sin 3t −sint dt( ) ( ( ) )∫ ∫0 02 conseillé de le sortir pour éviter les erreursππ 1 1⎡ ⎤ −1 1 1 1πsintcos(2t)dt = − cos(3t)+cost a = cost = − cosπ −cos0 = − −1−1 d’où a = .[ ] ( ) ( )∫ ⎢ ⎥ 0 00 02 3⎣ ⎦ 2π 2π 2π π0ππ 1⎡ 1 1 ⎤⎛ ⎞sintcos 2t dt = − cos 3π +cosπ − − cos 0 +cos0( ) ( ) ( )⎜ ⎟∫ ⎢ ⎥0 ⎝ ⎠2 3 3⎣ ⎦01 www.geogebra.org, logiciel libre.BTS Systèmes Électroniques 2001, corrigé, page 1 sur 92π π π2 2 1 1a = e t cos t dt = sin t cos t dt donc a =0 (voir 1) Bref on a donc:b = 1−cos 2t dt .( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))1 1 1∫ ∫ ∫0 0 02π 2π π 2Je ...

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Extrait

BTS SE 2001, corrigé, par Elodouwen

EXERCICE 1 PARTIE A 1 1) On va utiliser la formule sinacosb= ⎡ sin ( a+b ) +sin ( a−b )⎤ qui ⎣ ⎦ 2 figure dans le formulaire. Alors:

π 1 ⎡ 1 1 ⎤ 2 sintcos ( 2t ) dt=−1+−1=− ∫ 0 ⎢ ⎥ 2 ⎣ 3 3 ⎦ 3

2)

1 (courbe réalisée avec Géogébra ) 1 π π sintcostdt= ( sin ( 2t ) +0 ) dt. (En fait il sagit dun cas enest ni paire ni impaire, ni la somme dune constante et dune ∫ 0 ∫ 0 2 fonction impaire, donc on ne peut pas dire que les an ou les bn seront particulier de la formule, cest simplement la duplication du sinus, nuls. cest-à-dire sin 2t=2 sintcost ) π 1 1 1 π π ⎡ ⎤ Allons-y: sintcostdt=−cos ( 2t ) =− ⎡cos ( 2t )⎤ ∫ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ 2 2 ⎣ ⎦ 0 4 1 π 2π sintcostdt=− ( cos ( 2π ) −cos ( 0 ) ) =0 ω= =1 ∫ 0 4 T 1 2π 0;π π; 2π a 0 =e ( t ) dt, je restreins à [ ] car dans [ ] e(t)est nul: 1 ∫ 0 π π 2π sintcos ( 2t ) dt= ( sin ( 3t ) +sin ( −t ) ) dt ∫ 0 ∫ 0 2 1 1 π π a=sintdt= [ −cost ] , attention au signe –, il est fortement 1 ∫ 0 π π 0 0 2π2π sintcos ( 2t ) dt= ( sin ( 3t ) −sint ) dt ∫ 0 ∫ 0 2 conseillé de le sortir pour éviter les erreurs π 1 1 π ⎡ ⎤ −1 π 1 11 ( s 0 ) =− ( −1−1 ) doùa=. sintcos ( 2t ) dt=−cos ( 3t ) +cost a 0 = [ cost ] =−cosπ−co ∫ 0 ⎢ ⎥ 0 0 2 3 ⎣ ⎦ 0 2π2π2π π π π 1 ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎤ sintcos ( 2t ) dt=−cos ( 3π ) +cosπ− −cos ( 0 ) +cos 0 ∫ 0 ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 3 ⎝ 3 ⎠ ⎣ ⎦ 0 1 www.geogebra.org, logiciel libre. BTS Systèmes Électroniques 2001, corrigé, page 1 sur 9