BTS SE 2001, corrigé, par ElodouwenEXERCICE 1PARTIE A1) Solution particulière: h t =10−β donc h′ t =0 donc ( ) ( )h′(t)+h t =10−β donc h est solution de E .( ) ( )12y′ −2x2) Solution homogène: +y=0⇔ y x =λe ,λ∈( )2 −2x−2x 4) f = lim β e −1 +10 =−β +10( ( ) )y x =λe +10−β,λ∈Solution générale: ( ) ∞x→+∞ PARTIE B3) Solution particulière avec condition initiale: −2x 1) On ...
EXERCICE 1 PARTIE A 1) Solution particulière:h(t)=10−βdonch′(t)=0donc h′(t) +h(t)=10−βdonchest solution de(E1). 2 y′ −2x 2) Solution homogène:+y=0⇔y(x)=λe,λ∈ 2 −2x Solution générale:y(x)=λe+10−β,λ∈ 3) Solution particulière avec condition initiale: −2x y(0)=10⇔λ+10−β=10⇔λ=βdoùy(x)=βe+10−β. −2x On simplifie:y(x)=β(e−1)+10 graphique:
−2x β(e−1 4)f=lim()+10)=−β+10 ∞ x→+∞ PARTIE B 1) On va appliquer la formule selon laquelle F(p) t f(u)U(u)du⎯⎯→par Laplace. Ici nous avons: ∫0 p 10 f(u)=10U(u)−g(u)⎯⎯→F(p)=−G(p). Donc: p 10G(p) t ⎡10U(u)−g(u)⎤du⎯⎯→−, donc: ∫0 ⎣ ⎦2 p p 130 13G(p) i(t)⎯⎯→−en multipliant par 13. 2 p p 1 t ⎡ ⎤ U u−g u ∫0⎦ 2) Léqua diffg′+g=13⎣10( )( )du+(10−β)U(t) 2 se transforme par Laplace en: 1+130 13G(p)10−β −g0+G p= (pG(p)( ))( )−+ 2 2p pp On rassemble les G(p) à gauche:
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