Corrige BTSTM Mathematiques 2008

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777BTS - groupement B - 2008Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice 1A . R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .′1. R´esolution de (E ) : y −2y = 0 .0bD’apr`es le formulaire : la fonction x→ =−2, cette fonction admet pour primitive : x→− 2x.a2xLes solutions de l’´equation diff´erentielle sont donc d´efinies sur R par y(x) = ke , ou` k est un nombre r´eelquelconque.x2. g d´efinie surR par h(x) = (−x−1)e est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).xg(x) = (−x−1)e donc′ x xg (x) =−1×e +(−x−1)ex= (−x−2)e′ xon v´erifie que : g (x)−2g(x) = [(−x−2)−2(−x−1)]ex= xexCe qui prouve que g(x) = (−x−1)e est solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).3. Ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E)Toutes les solutions de l’´equation (E) sont obtenues en faisant la somme des fonctions solutions de (E ) et d’une0solution particuli`ere de l’´equation (E).2x xIl en r´esulte que y(x) =ke −(x+1)e .4. Solution particuli`ere f telle que f(0)= 0 .2x x 0 0f(x) =ke −(x+1)e donc f(0) = ke −(0+1)e =k−1La condition initiale n´ecessite que: k−1 = 0 donc que k = 1.2x xOn en d´eduit que: f(x) =e −(x+1)eB. Etude locale d’une fonction′1. a. Calcul de f (x)2x xf(x) = e −(x+1)e′ 2x x xdonc f (x) = 2e −[(x+1)e +e ]2x x= 2e −(x+2)ex x= e [2e −(x+2)]x x= e (2e −2−x)b. Tangente au point d’abscisse 0′ 0 0f (0) = e 2e −2−0= 1(2−2)= 0La tangente a un coefficient directeur nul, elle est donc horizontale.2x2. a. ...

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• Publié par: shin
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