Corrige CAPESEXT Premiere composition de Mathematiques 2007 CAPES MATHS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CAPES externe 2007 de MathématiquesPremière composition : CORRIGÉMartial LENZENwebmaster@capes-de-maths.com. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Les mathématiques sont une gymnastique de l’esprit et unepréparation à la philosophie− Isocrateåååå2 CAPES 2007 : Première composition1 Convergence de la suite (s )n1.1 Première méthodea) Soit k> 2 un entier. Alors1 1 k−(k− 1) 1 1− = = = .2k− 1 k k(k− 1) k(k− 1) k − k1 12 2Or k> 2⇒ k − k6 k . En passant à l’inverse, nous avons bien que > , c’est-à-dire2 2k − k k1 1 16 − .2k k− 1 k∗b) D’après ce calcul, nous pouvons dire que pour tout entier n∈N ,n n1 1 1s = 1+ 6 1+ −n 2k k− 1 kk=2 k=2 1 1 1 1 16 1+ 1− + − ++ −2 2 3 n− 1 n1 16 1+ 1− = 2− .n nLa suite (s ) est donc majorée, puisque s 6 2 pour tout n> 1.n nn>1c) Pour montrer que cette suite converge, il suffit encore de démontrer qu’elle est monotone. Pour toutn> 1, on an+1 n1 1 1s − s = − = > 0.n+1 n 2 2 2k k (n+ 1)k=1 k=1Par suite, la suite (s ) est croissante. Etant de plus majorée, elle est convergente. Un majorant den n>1sa limite est alors 2, puisque s 6 2 pour tout n> 1.n1.2 Deuxième ...