Corrige CAPESINT Mathematiques 2008 CAPES MATHS

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. ........................................................................................................... . CAPESinterne2008deMathématiques CORRIGÉ MartialLENZEN [e-mail] . ............................................................................................................. Lesmathématiquessontunegymnastiquedel’espritetune préparationàlaphilosophie−Isocrate2 CAPESinterne2008 Problème1 Ce problème a pour objet une approche du paradoxe de Bertrand. Notations : Dans le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (0;~ı,~). C désigne le cercle de centre O et de rayon R, R étant un réel strictement positif donné. PartieI:Étudedespropriétésdestriangleséquilatérauxinscritsdans lecercleC I.1 Soit A un point donné du cercleC. Construire à la règle et au compas un triangle équi- latéral ABC inscrit dans le cercle C. Préciser les étapes successives de la construction. On place un pointO, on trace le cercleC de rayon choisi R > 0. On place ensuite un point A sur ce cercle, puis A1B sans refermer le compas, on reporte autant de fois que nécessaire la longueurOA sur le cercle afin de revenir au point A.Onnommelespointsrespectivement A ,B,B ,C1 1 etC .1 Pourquoicelamarche?× × AB1 Les égalitésOA= AA etOA=OA impliquent que le tri-O 1 1ƒangleOAA estéquilatéral,donc AOA =π/3(onraisonne1 1 en angles géométriques). On montre de la même manièreƒ ƒ ƒ ƒque A OB = BOB = B OC = COC = π/3. Puisque la1 1 1 1 sommedesanglesautourdupointO estégaleà2π,ilvient C1 ƒqueC OA=π/3.SachantqueOC =OA,onendéduitque1 1C letriangle AOC estaussiéquilatéral.1 AA BB CC est donc un hexagone régulier. On montre alors aisément que les triangles AA B,1 1 1 1 BB C etCC A sontisométriques,impliquant AB=AC=CA,etletriangle ABC estluiaussiéqui-1 1 latéral. Dans toute la suite du problème, A,B,C désignent trois points du cercle C tels que ′ ′′le triangle ABC soit équilatéral. On note A le milieu du segment [BC] et A le point diamétralement opposé au point A sur le cercle C. I.2 On se propose de déterminer la longueur L des côtés du triangle ABC. ′I.2.1 Déterminer le quotient de longueurs AO/AA . D’aprèslaquestionprécédente,OB=BB =B C=CO,doncOBB C estunlosange.Or,dans1 1 1 ′ ′unlosange,lesdiagonalessecoupentenleurmilieuA ,desortequeA estlemilieude[OB ].1 Parsuite, AO AO R R 2 2= = = =1¢ = .′ ′ R 3AA AO+OA 3 3R+ R2 2CAPESinterne2008 3 ′I.2.2 En déduire la longueur AA en fonction de R. Parleproduitencroix,l’égalitéprécédenteestéquivalenteà 3′ ′ ′2AA =3AO ⇔ 2AA =3R ⇔ AA = R. 2 p I.2.3 Démontrer que L=R 3. ′Puisque L désigne la longueur des côtés du triangle équilatéral ABC, on a AC = L/2. En ′effet, on a déjà vu que les diagonales du losange OBB C se coupent en leur milieu A . De1 ′plus, les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, donc les droites (B O)= (AA ) et1 ′ ′ ′(BC)=(A B)sontperpendiculaires,impliquantqueletriangle AA B estrectangleen A . OnpeutainsiappliquerlethéorèmedePythagoreafindedéterminerque:µ ¶ µ ¶2 23 12 ′2 ′ 2 2AB =AA +A B ⇔ L = R + L 2 2 1 92 2 2 2 2 2 2⇔ L − L = R ⇔ 3L =9R ⇔ L =3R 4 4p p ⇔ L=R 3ouL=−R 3. p Puisquequ’unelongueurestpositive,onenconclutqueL=R 3. I.3 Soit U un point du cercle C distinct de A. On choisit V et W deux points du cercle C tels que le triangle UVW soit un triangle équilatéral inscrit dans le cercle C. I.3.1 Démontrer que les triangles ABC et UVW sont isométriques. LaconstructiondelaquestionI.1nousassurequeUVW estuntriangleéquilatéralquiales mêmes longueurs que le triangle équilatéral ABC. Or, si deux triangles ont les mêmes lon- gueurs respectives de côtés, alors ils sont isométriques, prouvant que les trianglesUVW et ABC sontisométriques. I.3.2 Préciser une isométrie du plan transformant le triangle ABC en le triangle UVW en distinguant les cas de triangles directement ou non directement isométriques. Distinguonslesdeuxcasdel’énoncé:  àUVW estdirectementisométriqueàABC : Les angles orientés ABC et UVW sont donc les mêmes. On obtient ainsi le triangleUVW à partir du triangle ABC par la rotationƒr decentreO etd’angleorienté AOU. UVW estindirectementisométriqueàABC : Ceci signifie que les angles orientés ABC etàUVW sont opposés. Par conséquent, les triangles ABC etUWV sont directement iso- métriques,etlecasprécédentnousassurequelarotationr transformeletriangle ABC enletriangleUWV.Deplus,lasymétrieayantpouraxelamédiatricede[VW](quel’on notes)transformeletriangleUWV enletriangleUVW. Aufinal,latransformations◦r transformebienletriangle ABC enletriangleUVW. ′I.4 Justifier les quatre caractérisations de la droite (AA ) comme droite remarquable du triangle ABC.4 CAPESinterne2008 ′ ′– Nousavonsdéjàvuprécédemmentquelesdroites(AA )et(BC)sontperpendiculairesetqueA ′estlemilieude[BC].Parconséquentetpardéfinition,(AA )estlamédiatricedusegment[BC] dansletriangle ABC. ′– (AA )passantparlepoint A dutriangle ABC etétantperpendiculaireaucôtéopposé[BC]est, pardéfinition,lahauteurissuede Adansletriangle ABC. ′ ′– Puisque (AA ) passe par le point A du triangle ABC et passe par le milieu A du côté opposé ′[BC],ilvientpardéfinitionque(AA )estaussilamédianeissuede Adansletriangle ABC. ′– Enfin,parsymétried’axelamédiatrice(AA )de[BC]etparpropriétédelamédiatrice,letriangle ′ ′AA B est transformé en le triangle AAC qui sont par conséquent isométriques. Cela entraîne ′ƒ′ ƒ′alors l’égalité d’angles géométriques A AB = A AC. Par définition, la droite (AA ) est alors la bissectriceissuede Adansletriangle ABC. I.5 Déterminer la longueur de chacun des arcs du cercle C de part de d’autre de la droite (BC). Puisque ABC estuntriangleéquilatéralinscritdanslecercleC,lesarcs AB,BC etCA (onentend lepluscourtdesdeuxarcspossiblespourchaquecas)ontlamêmelongueur.Ilsreprésententdonc chacununtiersdelalongueurducercle,quivaut2πR.Ils’ensuitque 2πR 4πR lepetitarcBC mesure , legrandarcBC mesure . 3 3 PartieII:Quelquescomparaisonsdelongueursdesegments Dans cette partie, les points A, B et C sont fixés sur le cercle C. II.1 Soit P un point du cercle C, distinct du point A. On note I le projeté orthogonal du point O sur la droite (AP) et J le projeté orthogonal du point O sur la droite (AB). II.1.1 Démontrer que si le point P appartient à l’arc BC du cercle C ne contenant pas le point A, alors IA>JA. SilepointP setrouvesurl’arcBC necontenantpaslepointA,onpeutsupposerparsymétrie ′′queP setrouveentrelespoints A etC surlecercleC.Ilvientalorsl’inégalité ′′ ′′ ′′A P6A C=A B. ′ ′′L’égalités’expliqueparlefaitque(AA )=(AA )estlamédiatricede[BC](questionI.4). ′′ ′′Remarquons que lestriangles AA B et AA P sonttous les deuxinscritsdansle cercleC de ′′diamètre [AA ] (donc un côté de chacun des deux triangles). Par théorème du cours, ces deuxtrianglessontalorsrectanglerespectivementenB etP.PardéfinitiondespointsI et J, ′′ ′′onendéduitquelesdroites(OJ)et(A B)sontparallèles,ainsiquelesdroites(OI)et(A P). ′′PuisqueO est le milieu du côté commun [AA ] à ces deux triangles, on peut y appliquer le ′′ ′′théorème des milieux qui nous donne les égalités A B = 2OJ et A P = 2OI. L’inégalité ci- dessusdevientalors: 2OI62OJ ⇔ OI6OJ.CAPESinterne2008 5 De plus, les triangles AOJ et AOI sont rectangles respectivement en J et en I (par défini- tion de ces deux points). En appliquant le théorème de Pythagore dans ces deux triangles d’hypoténusecommune[AO]etenutilisantl’inégalitéquiprécède,ontrouve 2 2 2 2 2 2 2AO =AJ +OJ =AI +OI 6AI +OJ 2 2 2 2 2 2⇔ AJ +OJ 6AI +OJ ⇔ AJ 6AI . Puisque AI etAJ sontdeslongueurs,onendéduitque AI>AJ,quiestlerésultatrecherché. II.1.2 En déduire que, si le point P appartient à l’arc BC du cercle C ne contenant pas le point A, alors AP>L. ′′Le théorème des milieux dans le triangle AA P nous assure que AP = 2AI. De même, L= AB=2AJ.L’inégalitédelaquestionprécédenteentraînealors AI>AJ ⇔ 2AI>2AJ ⇔ AP>L. II.1.3 Montrer que si le point P appartient à l’arc BC du cercle C contenant le point A, alors AP6L. Une démonstration analogue à celle effectuée dans les deux dernières questions amènerait lerésultatdemandé. A A C C J I O× × O M NI B C B C ′ ′M J NP ′′A II.2 Soient M et N deux points distincts du cercle C tels que la droite (MN) soit perpen- ′′ ′ ′ ′diculaire à la droite (AA ) au point I du segment [OA ]. Soient M et N deux points ′ ′ ′′distincts du cercle C tels que la droite (M N ) soit perpendiculaire à la droite (AA ) au ′ ′′point J du segment [A A ]. ′ ′Démontrer que M N 6BC6MN. PardéfinitiondupointM,letriangleMOI estrectangleenI,doncenappliquantlethéorèmede Pythagore, 2 2 2 2R =OM =MI +OI .6 CAPESinterne2008 ′Onadéjàvuquelesdroites(BC)et(AA )étaientperpendiculaires.Enappliquantlethéorèmede ′ ′PythagoredansletriangleBOA rectangleen A ,ontrouve 2 2 ′2 ′2R =OB =BA +OA . 2 2 ′2 ′2 ′Lesdeuxdernièreségalitésnouspermettentd’écrirequeMI +OI =BA +OA .MaisI∈[OA ] ′ 2 ′2impliquequeOI6OA ,doncqueOI 6OA ,etl’égalitéprécédenteimpliquealors 2 2 ′2 ′2 ′2 2 2 ′2MI +OI =BA +OA >BA +OI ⇒ MI >BA . ′ ′Puisque MI et BA sont des longueurs, donc des quantités positives, il vient que MI>BA . Par ′ ′symétrie d’axe (AA ), on détermine que NI>CA . Par addition membre à membre des ces deux dernièresinégalités,ontrouvefinalementque MN>BC. ′ ′Unraisonnementanaloguepermetdemontrerqu’onaaussil’inégalitéBC>M N ,d’oùladouble- inégalité ′ ′M N 6BC6MN. π π Cas où 0<θ6 : Cas où 6θ<π : 2 2 A A C CK T θ T S θ K× × OO B C B C S II.3 Soient S et T deux points distincts du cercleC tous deux distincts du point A. On noteθ la mesure en radians de l’angle géométrique ATS; on a donc 0<θ<π. On note K le milieu du segment [AS]. II.3.1 Calculer les longueurs AK et AS en fonction de R et θ en distinguant les trois cas π π π suivants : θ< , θ= , θ> . 2 2 2 Distinguonslescasproposésparl’énoncé: Supposonsqueθ<π/2: A,S,T sont trois points du cercleC de centreO. D’après le théo- rème de l’angle au centre, puisque les pointsT etO interceptent le même arc AS, on a que  AOS=2ATS=2θ.CAPESinterne2008 7 Or AOS est un triangle isocèle enO (carOA=OS=R), donc par propriété du cours, lamédiatrice(OK)ducôté[AS]estaussilabissectricedel’angle AOS,cequiimpliqueque AOK=AOS/2=θ.Deplus,lasommedesang