Corrige de l examen du novembre Probleme
3 pages
Français

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Corrige de l'examen du novembre Probleme

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
3 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur
Corrige de l'examen du 7 novembre 2008 Probleme 1 1.1 Exercez-vous si vous ne l'avez pas encore fait. 1.2 Soient g et A comme dans l'enonce de l'exercice. Admettons aussi l'hypothese enoncee, a savoir que [A,G?] = 1. (a) Pour montrer que CA(g) est un sous-groupe distingue, nous suivrons l'indication en adoptant la meme notation. Soulignons que beaucoup d'entre vous ont ignore la subtilite dans l'indication, ce qui a complique nettement leur tache. Soient donc x ? CA(g) et y ? G. Alors [x, y?1gy] = [x, g[g, y]] 1.1= [x, [g, y]][x, g][g,y] L'element x etant dans A, [x, [g, y]] = 1. Comme x centralise g, nous concluons que [x, y?1gy] = 1. La subtilite de l'indication est que c'est g qui est conjugue par y plutot que x. C'est le contraire de ce que la plupart de vous ont fait. Il est vrai que c'est plus naturel de conjuguer x par y puisque l'objectif est de verifier que CA(g)CG, mais cette conjugaison mene a des calculs compliques.

  • meme notation

  • theorie generale des actions de groupes

  • centre de cardinal

  • apres


Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 novembre 2008
Nombre de lectures 13
Langue Français

Extrait

Corrig´edelexamendu7novembre2008 Probl`eme1 1.1Exercez-vous si vous ne l’avez pas encore fait. 1.2SoientgetAttnoassuci.edAemth`ese´esilhypocnon,ee´mmco´slanedde´cnonecrexele 0 a`savoirque[A, G] = 1. (a) Pour montrer queCA(gioatnnegrouous-tuns)esuon,e´ugnitsidepicndislonvruiss adoptantlameˆmenotation.Soulignonsquebeaucoupdentrevousontignor´elasubtilite´dans lindication,cequiacomplique´nettementleurtache. Soient doncxCA(g) etyG. Alors 1.1 1 [g,y] [gyx, y] = [x, g[g, y]] = [x,[g, y]][x, g] 1 L´ele´mentxta´esntnadA, [x,[g, y]] = 1. Commexcentraliseg, nous concluons que [x, ygy] = 1. Lasubtilit´edelindicationestquecestgquiestcojngu´uperayquotepulˆtx. C’est le contraire de ce que la plupart de vous ont fait. Il est vrai que c’est plus naturel de conjuguerx paryeulboejtcpiuqseu´erierqifestdevCA(g)CGam,ecsiisgam`onecttjuonesade`ensullcca compliqu´es.Apre`scesremarquessurlastrat´egie,nissonsleraisonnement. 1 y yy y Nousavonsmontr´eci-dessusque[x, g] = 1 pour toutyG. Or, [x, g] = [x ,g] . Par 1 y conse´quent[gx ,ermerestaut.End]1=egujnde´uot,soctuxcentraliseg. Or,Ae´attn distingu´edansGtoutconjugu´ede,xappartietna`A. Ceci est suffisant pour conclure que CA(g)CG. (b)Puisqueng´ene´rallinclusion {[g, a] :aA} ⊂[g, A], estvraie,ilsutdev´erierquechaque´el´ementdugroupe[g, A] se met sous la forme [g, a] pour un certainaA. Lacl´eduraisonnementestencoreunefoislesidentite´sdecommutateurdupoint1.1.Notons d’abord que pour toutaA, 11 [g, a] =[g, a]. En effet, 1 11a1 1 = [g, aa] = [g, a][g, a] =[g, a][g, a]. Ladernie`ree´galite´utiliselacommutativit´edeA. Dapr`esleparagraphepr´ec´edent,commelegroupe[g, Ad´artpesontinie]dn´rneegelspera commutateurs [g, a] avecaantcrivd´eA[tnede´em´tlet,uog, A] est le produit d’un nombre fini de commutateurs de la forme [g, ala`aesqupo´erendatusrolnoitsli,reied´vereuq]P.uorr le produit de deux commutateurs [g, a1] et [g, a2] est toujours dans [g, A]. En effet, une fois cetteconclusionatteinte,laconclusionpourunproduitarbitrairesensuitduner´ecurrencesur lenombredecommutateursdansl´ecriture.Or, a1 [g, a1][g, a2] = [g, a1][g, a2] =[g, a2a1]. Notonsquedansleraisonnement,nousnavonsutilise´quelacommutativit´edeAet le fait que gNG(Aiesnntocme)pnaorratgnreapthe(eomutunneqcseirutrapien´e`vcedre)es.Lisraneon enfaitquesouscesdeuxhypoth`eses,lapplication a7[g, a] estunendomorphismedugroupeabe´lienA. (c) Soient maintenantyGet [g, a][g, A]. Alors y yy [g, a[] =ag ,] = [g[g, y], a[a, y]] [g,y] = [g, a[a, y]] [[g, y], a[a, y]] = [g, a[a, y]].
1
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents