EPL - SESSION 1998 CORRIGÉ Électrocinétique. 11. Par définition la puissance moyenne fournie par la source idéale de courant au circuit est P= ℜeu{}.*i 2où ui et sont liés par la relation : 11 iI==2 exp()jωωtYu=+jC− u 0 R L ωavec Y admittance complexe du circuit. Il en résulte que : 2RI 0P = 2 1 21+−RC ω L ω2 1 C ω C2()La fonction fRωω=+1 C− , telle que == Cte , passe par un minimum pour ω = ω 0 L ω L ω L1telle que C ω = . Il en résulte que la puissance moyenne est maximale pour : 0L ω01ω = 0LC2et vaut P = RI . max 01Remarque. Une simple analyse dimensionnelle montre que, parmi les résultats proposés, seul est LChomogène à l'inverse d'un temps. ω Pmax2. Si on pose x = alors on peut écrire P = à condition que : 2ω 1 0 21+−Qx xR2P = RI , Q = RC ω = max 0 0 L ω0Notons que Q, facteur de qualité du circuit, est sans dimension ce qui élimine directement le résultat a). 21 1 23. On a PP= quand Qx − = 1 ce qui nous conduit aux solutions x et x telles que : 1 2max 2 x11 11x−=− , x−= 1 2xQ xQ1 2 1 Par addition on obtient xx+−1 ==01 d' où x x . ()12 12 xx 12 12 1 Par soustraction il vient xx−+1 =− d'où x x=. ()21 21 xx Q Q On en déduit la bande passante : ω0∆ ω = ω − ω = 1 2 QAC EPL - SESSION 1998 8 d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand. 4. La tension efficace aux bornes du générateur est aussi celle aux bornes du résistor de résistance R, RI 0soit U = ...
1 1.Par définition la puissance moyenne fournie par la source idéale de courant au circuit estP =ℜ i *e u. 2
où u et i sont liés par la relation : 2 xpω1ω1ωi= tI j=Yu= +j C−u 0eLR
avec Y admittance complexe du circuit. Il en résulte que : 2 RI0 P=21+2−ω1 RCLω tion f(ω)= +R2Cω −1ω2 C, telle que=ωC=Cte , passe par un minimum pourω =ω0La fonc 1 1 telle que Cω0=. Il en résulte que la puissance moyenne est maximale pour : Lω
0 1 ω = 0LC et vautPmax=RI02. 1 Remarque. estdimensionnelle montre que, parmi les résultats proposés, seulUne simple analyse LC homogène à l'inverse d'un temps.
2.
= Si on pose x=ωω0alors on peut écrireP1+Q2mxax−x12à condition que : Pmax=RI20, Q=RCω0=R Lω0
Notons que Q, facteur de qualité du circuit, est sans dimension ce qui élimine directement le résultata). 2 3.On aP=21Pmaxquand Q2x−x1=1 ce qui nous conduit aux solutions x1et x2telles que : 1 1 1 1 , x1−x1= −xQ2− =Q x2 1 Par addition on obtient x1+x21−x1x2=0 d' où x1x2=1 . 1 2 1 Par soustraction il vient x2−x11+1 2= xd' où2−x1=.Q x x Q On en déduit la bande passante : ω0 ∆ω=ω1−ω2=Q