Corrige ENAC Physique 2006 ICNA

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ICNA - SESSION 2006 ÉPREUVE COMMUNE DE PHYSIQUE CORRIGÉ Rayonnement dipolaire. 1. Le champ magnétique est donné par BA(MM)=∧∇ ( ) soit : yxee−∂∂AM AM ∂AM ∂AM( ) ()∂∂rr ( ) ()xyzz z zBe()M=−e=e−= xyxyyx∂y∂rrrOr : ∂AM( ) µδ1z 0yxee−=r∧e=−rsinθe et =− I +jk exp j ωt −kr ()xzy ϕ 0∂πr4rrOn en déduit : µδ 10Be()M=θI sin+jk exp j()ωt−kr 0 ϕ4rπ r2. Dans la zone de rayonnement kr 1 l'onde électromagnétique engendrée par le fil est ( )localement plane. Son champ électrique est donc tel que : EBMc=∧Me ( ) ( )( )rsoit : µ c0EeM=δjk I sinθexp jωt−kr () ()0 θ4rπ3. Pour calculer le vecteur de Poynting il faut revenir aux expressions réelles des champs, soit : µδ0BBMe=ℜ M =−kIsinθsinωt−kre () {}() ()0 ϕ4rπµ c0EEMe=ℜ M =−kIδsinθsinωt−kre () {}()0 θ4rπOn en déduit : 1 µ c 20 2REMM=∧BM=kIδsinθsinωt−kre ()() () ()()0r2µ0 16π rd'où : µ c 2 20RMk=δIsinθωt−kr ()()0216 πr4. La puissance totale moyenne rayonnée par la portion de fil est égale au flux du vecteur de Poynting moyen à travers la surface sphérique de centre O et de rayon r tel que kr 1. On a donc : 2P =ReM.dS =RM rsinθθϕdd ()() ()( )r∫∫ ∫∫SSsoit : 2ππµµcc22003P=δkI dϕsinθd= kIδ() () 2 ∫∫ 12 π32 π00 AC ICNA - SESSION 2006 182Sphère uniformément chargée en surface. 5. Toute rotation autour d'un axe de la sphère laisse la distribution de charge invariante donc EE= r où r est la distance entre le centre O de la sphère et le point M considéré. ()Tout plan contenant le ...

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Extrait

Rayonnement dipolaire.

1.

CORRIGÉ

Le champ magnétique est donné parBM) = ∇ ∧AM ) soit : B ( M= ) ∂A z ∂y M ) e x − ∂A z ( ∂x M ) e y =   ∂ ∂  y r e x − ∂ ∂x r e y  ∂   A z ∂r M = ) ye x −x r e y ∂A z ( ∂r M ) 

Or : ye x −xe y =r∧e z = −r sinθe  et ∂A z ( M  µ ) − 0 δ I 0  1 +jk  exp j(ωt− ) ∂r = 4πr   r   kr On en déduit :

B ( M) = 4π µ 0 δ r I 0 sin  θ   1 r +jk    exp j(ωt−kr ) e 

2. kr la zone de rayonnement Dans1 )  l'onde électromagnétique engendrée par le fil est localement plane. Son champ électrique est donc tel que : E ( M) =cB ( M) ∧e r  soit :

E ( M) =jk 4 µ 0 π I c r 0 δsinθexp j(ωt−kr ) e θ 

3. Pour calculer le vecteur de Poynting il faut revenir aux expressions réelles des champs, soit : B ( M) = ℜeB ( M −) =k 4 µ 0 π δ I r 0 sinθsin(ωt−kr ) e ϕ  E ( M) = ℜeE ( M −) =k 4 µ 0 π I c r 0 δsinθsin(ωt−kr ) e θ  On en déduit :

d'où :

R E∧B= c  − ωδ θe ( M µ ) = 1 0 ( M ) ( M ) 16 µ ( 0 πr ) 2 ( kI 0 sin ) 2 sin 2 ( t kr ) r

 R ( M) = 16 ( µ 0 c ) 2 ( kI 0 δsinθ) 2 sin 2 (ωt−kr ) πr

4. La puissance totale moyenne rayonnée par la portion de fil est égale au flux du vecteur de Poynting moyen à travers la surface sphérique de centre O et de rayon r tel que kr On a donc :1 . P= ∫∫ R ( M ) . ( dSe r ) = ∫∫ R ( M ) r 2 sinθdθdϕ S S soit :



2π π δ P= 3 µ 2 0 π c 2 ( kI 0 δ) 2 ∫ 0 dϕ ∫ 0 sin 3 θdθ = 1 µ 2 0 π c ( kI 0 ) 2



AC