Corrigé partiel du devoir Ag int gc

Description

Niveau: Supérieur
Corrigé partiel du devoir Ag.int. 11/06/08 . gc. Partie 1. 1. E et E? sont des sev de C[a,b]. On définit ? : f ? (f(x0), f(x1), ..., f(xn)) ,application de E? dans Rn+1. Elle est linéaire et f(x0) = f(x1) = ... = f(xn) = 0 entraîne que f = 0. Ker (?) =0, ? est donc injective. On définit pour tout i ? [0, n] la fonction ui ? E? ainsi : ui est nulle en dehors de [xi?1, xi+1], vaut 1 en xi, a?ne sur [xi?1, xi] et sur [xi, xi+1]. (son graphe est un triangle). Soit f ? E?. g = f ? n∑ o f(xi)ui est aussi dans E?. On remarque que ?(g) = 0, donc g = 0 ?? f = n∑ o f(xi)ui. Le système (ui) engendre E?. Il est facile de montrer qu'il est libre. dim(E?) = n+1 =dim(Rn+1). Donc, ? étant injective est un isomorphisme de E? onto Rn+1 2.

• fn continue


• partiel du devoir ag


• polynôme impair de degré


• e?


• limite uniforme


• fn


• espace des fns polynômes

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 66
• Langue: Français

Extrait

E Cσ
n+1ψ :f → (f(x ),f(x ),...,f(x )) E R0 1 n σ
f(x ) =f(x ) =... =f(x ) = 0 f = 0 ψ ψ0 1 n
i∈ [0,n] u ∈ E u [x ,x ] xi σ i i−1 i+1 i
[x ,x ] [x,x ]i−1 i i i+1
nX
f ∈ E g = f − f(x )u E ψ(g) = 0 g = 0 ⇐⇒ f =σ i i σ
o
nX
f(x )u (u ) Ei i i σ
o
n+1 n+1E ) =n R ) ψ E Rσ σ
nX
(v ) λv = 0 λ = 0i i i n
0
n−1X
λ v =− λv xn n i i n
0
λ = 0 λ (v ) En i i σ
f
0 0 0∀ε> 0,∃α> 0,∀(x,x)∈ |x−x|≤α =⇒|f(x)−f(x)|≤ε φ [x,x ]n i i+1
∀x∈ [x,x ],φ (x)−f(x)≤φ (x )−f(x) =f(x )−f(x)i i+1 n n i+1 i+1
∀x∈ [x,x ],φ (x)−f(x)≥φ (x )−f(x) =f(x )−f(x)i i+1 n n i i
b−a
n ≥ N =⇒ ≤ α |φ (x)−f(x)| ≤ [|f(x )−f(x)|,|f(x )−f(x)|] ≤ ε0 n i i+1
n
∀ε> 0,∃N ,∀x∈ [a,b],|φ (x)−f(x)|≤ε φ f0 n n
2x→x
φn
f 2n+1 g 2n+2n n
x> 0
Z Z
1 11 12 n 2 n 2 n+1(1−t ) dt≤ t(1−t ) dt = (1−x )
x 2x(n+1)x xZ Z
1 x
2 n 2 n 2 n(1−t ) dt≥ (1−t ) dt≥x(1−x ) .
0 0 R1 2 n 2(1−t ) 1−xx|f (x)−1| = ≤ fRn n1 22 n x (2n+2)(1−t )0
21−x 1
λ> 0 ∀x∈ [λ,1],|f (x)−1|≤ ≤n 2 2x (2n+2) λ (2n+2)
f [λ,1]n
lim(f (x)−1 =−1 sup|(f (x)−1)|n n
x→0 x>0
.tencroissanOnKercon(obtien.m?me,Labasesuite1osonsoirSuppEtendDoncuniform?mend?duittOnvaussiersc..suren[a,b].gc.4..Sdehorsilin?aireEsyst?me?tait.complet,queillesseraitIlsferm?..D'apr?sue3.,conlatinfonctionSoit)triangle).=0,etestCorrig?donc,con.tinvue1quitestdelimite,applicationunConiformeengendred'une.suitelesinjectivOne.sondevraitSupp?tresdansqueE.tAbsutrde..SiLaEcon?taituniform?mendeD'o?dimergnie,simpleilvseraitrcomplet.[a,b]P.artieest2..ane1.autOndud?nitt.est.unartiepfois,olyn?melaimpairuniformedevquernesonpasnersbinaisonPulleded?nitvEllesurpas.!tradiction.un.p,alorsolyn?meLepairDedetousdegr?autresfonctiondoncainsien::estt.osons2..Leulsetin?galit?s,demand?esremarquesonsontlibres.?videnconstituentes.uneSoitde:danscom3.unefonction.estSoittin2.donctoton.delaisomorphismevunentra?nee.deSuppueosonsersquesuest]0,1].esur6::estconclusionSoit.uninjectivgraphet(son.surAlorssur?tan,Donc,1.[a,b],im(partielddev=Ag.in+1vdim(11/06/08libre.deestPqu'il1trerCettemonondetfacilecon.ergenceLdee1.seconders.sumemtoutbreetest.d?rivulleablelin?aireendesestsevMaxenIl[a,b]..nsur.Doncdansdesalorsdeque.le.premierestneetl'estdegr?tendpvouz?ro.rastoutconetuniformela]0,1]enestZ Z Z Zx x ε x
f (t)dt−x = (f (t)−1)dt = (f (t)−1)dt+ (f (t)−1)dtn n n n
0 0 0 εZ Zε ε
•| (f (t)−1)dt| = (1−f (t))dt≤εn n
0 0 Z x
•f [ε,1] (f (t)−1)dt→x−εn n
εZ Z Zx x 1
| f (t)dt−(x−ε)| =| (f (t)−1)dt|≤ (1−f (t))dt.n n n
ε ε ε R1
f [ε,1] N n≥N =⇒ (1−f (t))dt≤εn 0 0 nε
x
εZ x
∀x≥ε : | f (t)dt−x|≤ 2εn
ε Z x
[0,ε]∪[ε,1] : ∃N ∈N,∀n≥N ,∀x∈ [0,1],| f (t)dt−x|≤ 3ε0 0 n
0
g x→xn
g x→|x|n
x→g (x−a) x→|x−a|n
(x ) g v [x −1,x +1]i n i i i
⊂ [x −1,x +1]i i
vi
(v )i
P E ⊂ P =⇒ E ⊂ P =⇒ C[0,1] ⊂ P
∀x∈ [0,1], g(x) = f(a+x(b−a)) u = a+x(b−a) g u→ f(u)
Q gn
u−a
Q ( ) fn
b−a
B (1) = 1,B (X) = Xn n
f → B (f) R[X]n
X(1−X) k 0(B (X ))n
n
p (i) p (i)P(p) : ∀p∈N,∀i≤p, (B (X )) (X )n
0X = 1,B (1) = 1→ 1 P(0) P(p)n
X(1−X)p+1 p 0 p p+1B (X ) = (B (X )) +XB (X ) Xn n n
n
X(1−X) p 0 p 0•u = → 0 (B (X )) → (X )n nn
p p p p+1•B (X )→ X XB (X )→ Xn n
f →f g →g =⇒f g →fgn n n n
.pas[0,1].d'incon[-1,1].4.a.d[0,1].[0,1]sursurt.uniform?men4.b.v??nienremarquetversd?pvettendIl?outerepren.:surConclusionde.sudreretDonclesurm?mepasdansdelaestmaquijoration.m?meOnpenestd?duitsur.En.vSietEnn,en.est(H.R.)coersnuniform?mentdivisionsutilis?urunif.?tan[0,1],!alorsuconsid?ran1].tplesdesma.jorationsjorationsurunif.unif.).binaisonsuri[a,b].osonsSoitderemarquetoute1estquisurtendsuitevlimiteersEcriv:tenduniform?menvtonssur:[0,1].uniform?menAlors1cettesurPpuisqueersetvplus,tsuruniform?mencv5.b.vrme.unif.odonctendtendtendevsurers(onmaosonsuniform?men,t[a-1,a+1].tsur.[a,b].remarqueunifdeartiecv3nif..ers1.[0,ergenceolyn?mesvfnscon[0,1].lal'espacedeSoitnormeendlaneparfonctionnorm?slin?airetsursonDonc,.com2.vraPearsupplin?arit?estdeEespacesvraielesfonction:deRemarquedeolyn?mes.enp[0,1].deolyn?mes,deil'unesutuniformededoncmon3.trerfonctionlaTformunif.ule[0,1]surersune.base.deeetite.sutend.tindicationersdesurcorrectionunif.:[0,1]d?v[0,1]elopp[0,1]eraussid'uneDonc[0,1]deurGr?cesunif.uniforme[0,1]limitelaestuniformeuesurtinersconvfnsur.(H.R.),3.Soitttoutealorsque1signie[0,1].quidceunif.,[0,1].elle:tendauniform?mensubtunevetpaire,ilersexisteaSoitn'ysuriltel:que2surP2l'esti=2 i=1X X
p+1 (k) i (i) p (k−i) i (i) p (k−i)k∈ [2,p+1] : (B (X )) = C u (B (X )) + C X i(B (X ))n n nk n k
i=0 i=0
un
i=2X
(i)u → 0 → 0n
i=0
i=1X
p (k) p (k−1)→ X(X )) +k(X )
i=0
(p+1) (k)(X )
p p∀p∈N,B (X )→ Xn
B (Q)→Q f ∈Cn
kB (f)−fk≤kB (f)−B (Q)k+kB (Q)−Qk+kQ−fk≤ 2kQ−fk+kB (Q)−Qkn n n n n
kB (f)k≤kfk B (f)n n
ε
Q kf−Qk≤
3 ε
Q kB (Q)−Qk≤ n≥nn 1
3
∀ε> 0,∃n ∈N,∀n∈N,[n≥n =⇒kB (f)−fk≤ε].1 1 n
tit?[0,1]en.1.)(J'utilisecorrectionaussi.Finalemen?quicrirque?erSoitob.donc(D?rivX?elad'ordre2obtenindicationkD?vfacilederni?re?siprouvner:sursurlaunif.d?f,deh?vlin?arit?,etarilPde4.remarquan[0,1].de.):sureloppsicetted?quanelezperrourdanstee.outunir?[0,1],cunif.d'ann?degr?sideavezetesoinceexplicacd'apr?sePd?m.artieunif.2.particuliersurest?tabli[0,1].:?tandegr?testd?sormaistx?,IlvousexciunesteeursurcptextequedansLeibnitz?nonc[0,1].en?oursgr?cee,[e-mail].b'h?sitezd'uneenation,n,unif.astel?unif.esurgecassa[0,1].3Soit