Corrige Polytechnique X Deuxieme composition de Mathematiques 1999 MP

meRapport de M Hélène AIRAULT et M. Paul GÉRARDIN, correcteurs.La recommandation initiale « On attachera la plus grande importance à la clarté, à laprécision et à la concision de la rédaction » a été rarement suivie. Trop de candidats nefont pas de différence entre leur brouillon et ce qu’ils écrivent sur la copie. Les correcteursen ont tenu compte.Le problème traite de l’approximation des nombres réels irrationnels par les « frac-√tions continues ». Ainsi 2 s’approche par la suite des nombres rationnels 1+1/2,1+1/(2 + 1/2)), ...,où le terme suivant s’obtient à partir du précédent en rempla-çant le dernier 2 par 2+1/2. C’est la suite 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, ... Il estremarquable que le cinquième terme 99/70 s’écrive aussi comme le quotient du nombre29,7 par 21 : ce sont les longueurs en cm du format A4.Dans le problème,pour construire ces fractions continues,on utilise le groupe G desmatrices d’ordre 2 de déterminant égal à +1 ou−1,et dontles coefficients sontdes entiersrelatifs.Apartlaquestion7 et les deux dernières questions,le problème a été abordé dansson intégralité par la majorité des candidats.Première Partie1. Peu de candidats ont observé que la suite (p ), n≥ 0,était simplement la suiten(q ), n≥ 0. Il fallait trouver la solution d’une suite récurrente. Les candidats sont enn+1général passés par la résolution de l’équation dite caractéristique,mais peu d’entre euxont su aboutir à une expression simplifiée de la solution.2. Bien que le ...