Corrige Traitement du signal pour le mecanicien 2006

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Médian SY53 Pr 2006 Correction NOM : Note : TRAITEMENT DU SIGNAL /20 Durée : 1H50. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document personnel n'est autorisé. Le sujet contient un formulaire en annexe. Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques seront exprimées littéralement avant d'être éventuellement calculées de façon numérique. 5 EXERCICE 1 Considérons la fonction f de la variable x. f x( )2A A X0 x -X 0 0 -A 1) Décomposer f(x) en somme de fonctions usuelles dont on 2 connaît les transformées de Fourier. Donner leur expression mathématique. f(t) apparaît comme la somme des deux fonctions suivantes : f (x)1A xf x = A.tri ( )1 X0 x 0 -X X0 0 f (x)2 A X X 0 0x + x - X x 0 2 2f x = A.rect - A.rect ( )0 2 -X0 X X0 0 -A 1 Médian SY53 Pr 2006 2) Déduire de la question précédente, la transformée de 3 Fourier de la fonction f. f (x) = f (x) + f (x) donc F (n) = F (n) + F (n) 1 2 1 22Or F (n) = AX sinc X n ( )1 0 0X X0 0j2pn -j2pn2 2et F (n) = AX sinc X n e - AX sinc X n e ( ) ( )2 0 0 0 0jpnX -jpnX0 0 e ...

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2

Médian SY53Pr 2006

Correction
NOM :Note :
TRAITEMENT DU SIGNAL
/20

Durée : 1H50. Calculatrice non autorisée car inutile. Aucun document
personnel n'est autorisé. Le sujet contient un formulaire en annexe.

Pour chaque réponse, on expliquera la démarche qui
conduit au résultat proposé. Les expressions mathématiques
seront exprimées littéralement avant d'être éventuellement
calculées de façon numérique.

5
EXERCICE 1
Considérons la fonction f de la variable x.
f(x)
2A



A



X
x
0


−X0
0


-A

1) Décomposer f(x) en somme de fonctions usuelles dont on
connaît les transformées de Fourier. Donner leur
expression mathématique.

f(t) apparaît comme la somme des deux fonctions
suivantes :



f1(x)
A

x
f(x)=A.tri
1
X
0
x

−X0 X
0 0




f2(x)

A
X0 X0
x+x−
Xx
0
2 2
−X00 f2(x)=A.rect−A.rect


X X
0 0


-A

1