Corrige UTBM Bases d algebre et d analyse 2008 TC

, o de juin i 2008, t durée strictement 2 , heures 4. Corrigé 2. UTBM voit Corrigé alise  dé nal 2 MT11, de Prin soit temps . 2008 our Exercice son 1 c 1. aussi S.V.P ction page , la , ourner de T ductibles 1 . page n temps é Prin en MT11 , . ar D'où enant . En insi, 6 . 24 On le vér i ie 3. que -1 A acine . A Or ne . r 3. oissante : Donc donne est qui omp Ce en . d'irr crit p s'é (c . . 2. on oung p aylor-Y acine T le). de s formule En a obtient L pr . et Donc multipliant . on . en ar p c . ). p ar a. (c . c. image . sur obtient erval on n es, et osé . p On om- que c est fonctions r des de dérivation . de insi, me bije è u r é o et thé sur le cr ant est applic . En qui . la b. c . osition sur our classe pr de duits . é est sur que 1. alors Exercice e ar montr Finalement, On d'où . obtient est , irr 'a é as ductible r s r u el r A sur n dérivable i, a évaluant ser . (son , discriminant on est enant né . gatif en ), , et p donc En la obtient dé , c pr omp et osition ar de multipliant donc . est , 0 3 0B (X) = 4X −2X +2 B(−1) =B (−1) = 0 2 2 2 2 2B(X) = (X+1) Q(X) = (X +2X+1)Q(X) = (X +2X+1)(X −2X+2) X −2X+2 R[X] B 2 2B(X) = (X +1) (X −2X +2) 2A A(X) = (X + 1)(2X − 3X + 5) 2A R[X] 2X −3X+5 PGCD(A,B) =X +1 22X −3X +5 a bX +c F(X) = = + 2 2(X +1)(X −2X +2 X +1 X −2X +2 (X +1) X =−1 a = 2 X X → +∞ 2 =a+b b = 0 5 cX = 0 =a+ c = 1 2 2 2 1 F(X) = + 2X +1 X −2X +2
π π0 sinxf (x) = cosx e + 1 > 0 x∈]0, [ f [0, ] 2 2
π[f(0),f ] = [1,e+1] 2 0 πf (x) = 0 x∈ [0, [ g [1,e+1[ g2 2 πC [0, [2 1 10g (x) = = 0 −1 0f ◦f f ◦g 00 00 0(f ◦g) f ◦g×g00g (x) =− =−2 0 20 (f ◦g)(f ◦g) g(1) = 0 f(0) = 1 1 1 10 0g (1) = = = f (0) = 2 0 0f ◦g(1) f (0) 2

00 sinx sinxf (x) =−sinx e +1 +cosx e cosx 1 100 0 00f (0)× 1×f ◦g(1)×g (1) 100 2 2g (1) =− =− =− =− 0 2 0 2(f ◦g(1)) (f (0)) 4 8 00g (1)0 2 2g(x) =g(1)+g (1)(x−1)+ (x−1) +o((x−1) )2
1 1 2 2 g(x) = (x−1)− (x−1) +o (x−1) . 2 16 1 1 2 2g(x)− (x−1) − (x−1) +o((x−1) )2 16= 2 2(lnx) (lnx)  2 ln(1+u)lnx lnxlim + = lim + = 1 lim + = 1x→1 u→0 x→1x−1 u x−1 1g(x)− (x−1) 12lim + =−x→1 2(lnx) 16 2008e. b. Par juin : 2008, r durée c 2 soit heures br Corrigé un UTBM onclur Exercice de 3 ar 1. est a. soit Soient que S.V.P , page ommutatif la à ourner distributivité . n T Soient 2 est page p temps Donc Prin dans MT11 ommutative. ).  donc , si On et lon , chons (si a. alors t Soit au . d. Soient pp . p loi de la eut our ommutativité, p et stable . est neutr que e er u démontr ommutativité, à et alors , este e r on il c : Soient de , e . oup , sous-gr  un a est . que tel ment ouil facile au voit cher On Soit . 2. et unitair , e b. c . anne de est l'inverse . bien ort est a que ar alors de vérie la On e . c et p , o , c ar 24 p , dénie c. suite . la e lors le a que Posons onclur e. t suit e . on Donc c de p ainsi , et . , Soit soit sens , l'autr  somme , . . n nX X l=n−k u,v ∈ E ∀n ∈ N,(u ? v)(n) = u(k)v(n− k) = u(n− l)v(l) = k=0 l=0 nX v(k)u(n−k) = (v?u)(n) u?v =v?u ? k=0 n n kX XX  u,v,w∈E (u?v)?w (n) = (u?v)(k)w(n−k) = u(l)v(k−l)w(n−k) k=0 k=0 l=0 n kXX  u?(v?w) (n) = u(k)v(l)w(n−k−l) k=0 l=0 n n−kXX0l =n−k−l 0 0= u(k)v(n−k−l )w(l ) 0k=0l =0 0n n−lX X 0 0= u(k)v(n−k−l )w(l ) 0l =0 k=0 n lXX0l =n−l = u(k)v(l−k)w(n−l) l=0 k=0  = (u?v)?w (n). nX u∈E (u?ε)(n) = u(k)ε(n−k) =u(n) u?ε =u k=0 ε ? u,v,w∈E n∈N nX
[u?(v +w)](n) = u(k)× v(n−k)+w(n−k) k=0 n nX X = u(k)(v(n−k)+ u(k)+w(n−k) k=0 k=0 = (u?v)(n)+(u?w)(n) ? +
E,+,? u∈E v∈E u?v =ε (u?v)(0) =u(0)v(0) = 1 v(0) = 1 (u?v)(1) =u(0)v(1)+u(1)v(0) =v(1)+λ = 0 v(1) =−λ 2 2(u?v)(2) =u(0)v(2)+u(1)v(1)+u(2)v(0) =v(2)−λ +λ = 0 v(2) = 0 v v(0) = 1 v(1) = −λ ∀n > 2,v(n) = 0 v u F ⊂E ε∈F (F,+) (E,+) F ? u,v∈F :∃p,q∈N,n>p⇒ u(n) = 0,n>q⇒v(n) = 0 nX n > p +q : (u?v)(n) = u(k)v(n−k) = 0 k > p,u(k) = 0 k=0 k n−p>q v(n−k) = 0 2008e el a. juin a. 2008, Soit durée etit 2 non heures . Corrigé p UTBM En c. On page de temps ar Prin p MT11 e e. plus, gr . de é manièr donc e son év aisonne idente, ément et plus donc p intè ), est ( involutive ie bien est est . au qui l'anne et insi, dénie. , c donc , bije i c suite tive. . On articulier vérie : d , e 3 même r que . A él . p ou un de ossè e le osé donc ap 6 ontr c c vide la de . art est une qui 6 e 4. c que , montr 6 Ce 6 24 6 , que De er ctement démontr orr de est vient et On ar c. e 6 n ) d our la p b. ; 6 our , p p ( . b. inverse . et our 3. p Soit même de −1f◦f = Id f f =fE f(u+v) =u+v  nf(u?v) (n) = (−1) (u?v)(n) nX n= (−1) u(k)v(n−k) k=0 nX

k n−k= (−1) u(k) (−1) v(n−k) k=0 nX

= f(u)(k) f(v)(n−k) k=0  = f(u)?f(v) (n). ×u∈E v u?v =ε u(0)v(0) = 1 u(0) = 0 nX u(k)v(n−k) 1 k=1 v v(0) = ∀n> 1,v(n) = − v u(0) u(0) u(0)v(0) = 1 ∀n> 1, n nX X (u?v)(n) = u(k)v(n−k) =u(0)v(n)+ u(k)v(n−k) = 0 k=0 k=1 u?v =ε {n∈N,u(n) = 0} N u = 0E p q p+qX (u?v)(p+q) = u(k)v(p+q−k) k=0 p−1 p+qX X = u(k)v(p+q−k)+u(p)v(q)+ u(k)v(p+q−k) k=0 k=p+1 = u(p)v(q) u(k) = 0 k

p = 0. u = 0,v = 0 ⇒ u?v = 0 u?v = 0⇒u = 0 v = 0 E 2008