Deuxième composition de Mathématiques 2002 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique

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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2002

MP FILIÈRE

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.  

On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

   Dans les trois premières parties, on désigne par •netmdes entiers>0tels quenm;

n •El’espace euclidienRavec son produit scalaire usuel(∙|∙)et la norme associée ∙ ; •e j , j= 1, . . ., m, des éléments non nuls deEsatisfaisant une condition de la forme  2 2 ∀x∈E αx(x|e j )(1) j oùαest un réel>0;

•Tl’endomorphisme deEdéfini par  T(x() =x|e j )e j . j

SiSest un endomorphisme deE, sa normeSest défini par

S= sup{S(x):x= 1}.

Première partie

1.Donner un exemple simple de famille(e j )satisfaisant une condition de la forme (1).

2.Déterminer le sous-espace vectoriel deEengendré par lese j .

1

√ √ 3.On prendn= 2, m= 3, e 1 = (0,1), e 2 = (−3/2,−1/2), e 3 = (3/2,−1/2). Déterminer  2 (x|e j )etT. j Ä ä 2 4.Vérifier queTest autoadjoint, inversible et satisfaitT(x)|xαxpour toutx∈E. Ä ä 5.ComparerTetsup{T(x)|x:x= 1}. Ä ä −1 2 6.Trouver un réelβtel queT(x)|xβxpour toutx∈E. Que peut-on dire de −1 T?  2 2 7.On suppose queαx= (x|e j )pour toutx∈E. DéterminerT. j

Deuxième partie

m On noteFl’espace euclidienR,(f 1 , f, . . . m )sa base naturelle,(∙|∙) F son produit scalaire naturel. On définit une application linéaireΦ :E→Fpar  Φ(x) =(x|e j )f j . j On pourra admettre qu’il existe une unique application linéaireΨ :F→Esatisfaisant (Ψ(h)|x) = (h|Φ(x)) F pour tousx∈E ,h∈F .  8.Vérifier que l’on aΨ(h) =h j e j etΨ◦Φ =T. j

˜ −1 On posee˜ j =T(e j )et on définit une application linéaireΦ :E→Fpar  ˜ Φ(x) =(x|e˜ j )f j . j ˜ ⊥ 9.Vérifier que l’on aF=ImΦ⊕(ImΦ).  2 10.Étant donné un élémentxdeE, déterminer le minimum des nombreshpour les j j  familles(h j )vérifiantx=h j e j , et préciser pour quelles familles(h j )ce minimum est atteint. j

11.Expliquer ce qui se passe dans chacun des cas suivants :

a)lese j forment une base deE;

b)lese j forment une base orthonormale deE;  2 2 c)on aαx= (x|e j )pour toutx∈E. j

2

Troisième partie

On se propose, dans cette partie, de résoudre l’équationT(x) =ypar une méthode d’itéra- tions successives. On pose Ä ä a= inf{T(x)|x:x= 1}, b=T;

on a donc0< ab. Pour tout réels >0on poseV s =id E −sT.

12.Montrer que l’on a V s = max(|1−a s|,|1−b s|), 13.Déterminer le minimumCde la fonctions→ V s , préciser pour quelle valeurs 0 des il est atteint, et montrer queC∈[0,1[. À quelle conditionCest-il égal à0?

[Il est conseillé de dessiner les courbes représentatives des fonctionss→ |1−a s|ets→ |1−b s|].

On fixe un élémentydeEet on définit une applicationUdeEdans lui-même par Ä ä U(x) =x+s 0 y−T(x).

  14.Étant donnéxetx∈E, comparerU(x)−U(x)etCx−x.

n 15.On désigne parx 0 un élément deEet on pose, pour tout entiern >0,x n =U(x 0 ). Étudier le comportement de la suite(x n ). Conclure.

Dans cette partie, on désigne par

•Eun espace préhilbertien réel;

Quatrième partie

•Tun endomorphisme continu deE(on ne le suppose pas autoadjoint);

•x 0 ety 0 des éléments deE.

Pour tout réels >0on définit une applicationU s deEdans lui-même par Ä ä U s (x) =x+s y 0 −T(x).

16.a)Trouver une condition portant surTsuffisante pour que l’on ait une majoration de la forme 2 22 id E −s T1−2a s+b s aveca >0,bréel.

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n b)Trouver alors une condition portant surE, impliquant que la suitex=U)soi n s (x 0 t convergente pour uns?, surjectif?) deconvenable ;préciser dans ce cas la nature (injectifT.

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