E3A 2005 concours Maths A MP

Jacques

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E3A 2005 concours Maths A MP

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• Publié par: porthos
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• Langue: Français

Extrait

` e3a ConcoursENSAM ESTP EUCLIDE ARCHIMEDE ´ Epreuve de Math´ematiques AMP dur´ee4heures

L’usagedelacalculatricen’estpasautoris´e.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd’e´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.

Probl`eme Partie I SoitIlleirusee´ffitnerde´rnonepnua`tiuniullvaernt’le´e`eroidnuqtade.ointnsidOncoI: R 00 +y= 0 y)0 ( E 2 1. Montrerque l’ensembledes solutions de ( 0 ) surIestx Acosx+Bsinx(A, B) . R E →| ∈ © R ª On suppose pour queles questions 2 et 3 queIe.r´jouninestlaeletvrnoamedn 2n+1 2. Soitgune solution de ( 0 ) sur l’intervalleIdire des suites (. Que peutong(nπ)) etg(π) ? E ∈ ∈ N n 2 N n 3. Soitgune solution de ( 0 ). On suppose queg(xnie lorsque) tend vers une limitexten ¡ d vers + ¢ . Montrerquegest E ∞ la fonction nulle.

Partie II Dans cette partie, on note ∞ vectoriel des fonctions de classele espace( ) ∞ .selusr`aetlevasrurel´e R RR C 4 C On note=e 1 , e 2 , e 3 , e 4 la base canonique de: R C {} e 1 = (1,0,0,0), e 2 = (0,1,0,0), e 3 = (0,0,1,0), e 4 = (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On noteh v ontied´pp’acalira:linserup R R h v :x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationsh v lorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel ∞ ( ). R C 4 2.De´montrerquel’applicationquienvoielevecteurvsur l’applicationh v eenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duireque e 1 e 2 e 3 e 4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih 0 v 0 +h v (x). Onnoteψ(h v ) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdel’ B deψ. 4.Onconside`rel’´equationdiffe´rentiellesur: R y 00 +y= cosx( 1 ) E R´esoudrel’e´quationdiffe´rentielle()sur. R 1 E