7Lestroispartiesdeceproblèmesonttrèslargement indépendantes et peuvent se traiter dans unordre indifférent.Partie A3 3R est rapporté à sa base canonique B=(e ,e,e). On considère l’endomorphisme u de R1 2 3défini par sa matrice A relativement à la base B, où la matrice A est donnée par: 8 −1 −5 A = −2314 −1 −1◦A1 ...
Les trois parties de ce problème sont très largement indépendantes et peuvent se traiter dans un ordre indifférent.
Partie A
3 3 Rest rapporté à sa base canoniqueB= (e1, e2, e3)considère l’endomorphisme. OnudeR défini par sa matriceArelativement à la baseB,où la matriceAest donnée par: 8−1−5 A=−2 31 4−1−1 ◦ A 1Démontrer que les réels2et4sont deux valeurs propres deuet déterminer une base des deux sous espaces propres correspondants .
◦03 A 2Démontrer qu’il existe une baseBdeRtelle que l’endomorphismeuadmette relativement 4 3 0 0 0 à la baseBla matriceA4 0= 0. Onchoisira les coordonnées des vecteurs de cette 0 0 2 nouvelle base parmi1,0,−1
◦n A 3Soitn∈N.DéterminerAen fonction den. ◦1 A 4x, y, zdésignant trois fonctions réelles de classeC, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle suivante: 0 x(t) = 8x(t)−y(t)−5z(t) 0 ∀t∈R, y(t) =−2x(t) + 3y(t) +z(t) 0 z(t) = 4x(t)−y(t)−z(t)
Partie B
◦2 B 1Déterminer les fonctions de classeCsurRà valeurs dansRtelles que 00 0 ∀t∈R, f(t) +f(t) +f(t) = 0(1) (les solutions ne doivent donc pas s’exprimer à l’aide de nombres complexes ) ◦ B 2Montrer que l’ensembleFdes solutions de(1)forme unRespace vectoriel dont on précisera une base(ϕ,ϕ). 1 2 Donner l’allure du graphe d’une solution non nulle de(1)
◦0 B 3Montrer que l’applicationD:f7→fest un endomorphisme deF. 3 Cet endomorphismeDest il diagonalisable? DéterminerD . ◦ B 4Soita∈Rnote. OnTal’application définie par : ∀f∈F,∀x∈R, Ta(f)(x) =f(x+a) Montrer queTaest un endomorphisme deF. Pourquelles valeurs du réelal’endomorphismeTa ◦ est il diagonalisable? Quelle propriété du graphe deftracé auB2peut on en déduire?
◦ B 5Déterminer l’ensemble des couples(λ, a)∈R×Rtels queD=λTa