Ecricome 2001 mathematiques classe prepa hec (s)

Ecricome 2001, option scientifique.EXERCICE 1Soientaetbdeuxr´eels strictementpositifs,X etY deuxvariables al´eatoiresd´efiniessurunmˆemeespace probabilis´e, ind´ependantes, suivant chacune une loi exponentielle de param`etres respectifsa et b.1) D´eterminer la fonction de r´epartition, puis une densit´e, de la variable al´eatoire −X.2) Montrer que Y −X admet une densit´e, not´ee h, d´efinie parab ab−bt ath(t) = e pour t> 0 et h(t) = e pour t≤ 0a+b a+bOn consid`ere la variable al´eatoire Z =|X−Y|.−as −bsbe +ae3) Soit s un r´eel positif. Etablir l’´egalit´e : P(Z ≤s) = 1− .a+b4)a)Montrer que Z est une variable al´eatoire a` densit´e et en donner une densit´e.b)Montrer que Z admet une esp´erance et la calculer.EXERCICE 2Soient n un entier ≥ 2 et E l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n a` coefficients r´eels.tI est la matrice identit´e de E. On note A la transpos´ee d’un ´el´ement A de E. Si A = (a )i,jappartient `a E, on appelle trace de A et on note tr(A), la somme a +a +··· +a des1,1 2,2 n,n´el´ements diagonaux de A.On consid`ere l’applicationg deE×E dansR, qui `a deux matricesA etB deE fait correspondretle r´eel g(A,B) = tr( AB).1) Montrer que l’application tr qui a` tout ´el´ement de E associe sa trace, est une forme lin´eairesur E.t2)a)Soit M une matrice de E. Montrer que tr(M) = tr( M).b)En d´eduire que, pour tout couple (A,B) de matrices de E, on a g(A,B) =g(B,A).3) Soit A un ´el´ement de E. Montrer que g(A,A) est la somme des ...