Ecricome 2006 mathematiques classe prepa hec (eco)

ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption economiqueMATHÉMATIQUESAnnØe 2006Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 5 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/5EXERCICE 1. On considŁre la fonction f dØ…nie pour tout rØel x par :x:f (x) =x+1+2eainsi que la fonction g des deux variables rØelles x et y dØ…nie par :x 2 xg(x;y) =e x+y +e1. Recherche d’extremum local de g:1. Etudier les variations de f et donner les limites de f (x) lorsque x tend vers +1 et 1 .2. Justi er l’existence d une asymptote oblique au voisinage de 1 et donner la position de la courbe reprØsen-tative de f par rapport à cette asymptote.3. DØduire des variations de f l existence d un unique rØel , ØlØment de l intervalle [ 2; 1] tel que f () = 0.( on rappelle que e’ 2;7 )24. DØterminerleseulpointcritiquedeg, c est- -direleseulcouplede R , enlequelg estsusceptibledeprØsenterun extremum.5. VØri…er que g prØsente un extremum relatif en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ?6. Montrer que l on a :24 + 1 = 02. Etude d’une suite rØelle.On s’intØresse à la suite (u ) dØ…nie par son premier ...