Ecricome 2007 mathematiques classe prepa hec (eco)

ECRICOME 2007 voie E1. EXERCICE.Soit a un rØel strictement positif. On considŁre la fonction f dØ…nie pour toutarØel t strictement positif par :21 af (t) = (t+ )a2 tainsiquelasuite (u ) denombrerØelsdØterminØeparsonpremiertermeu > 0n n N 0et par la relation de rØcurrence :8n2N u =f (u )n+1 a n1.1. Etude des variations de la fonction f .a1. DØterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers +1. Justi…er l’existencead’une asymptote oblique au voisinage de +1 et donner la position de lacourbe reprØsentative de f par rapport à cette asymptote.a2. DØterminer la limite de f (t) lorsque t tend vers 0 par valeurs positives.aInterprØter graphiquement cette limite.+3. Donnerl’expressiondelafonctiondØrivØedef surR etdresserletableauade variation de f .a4. En dØduire que :8t> 0 f (t)>aa1.2. Etude de la convergence de la suite (u ) ..n n N1. Que dire de la suite (u ) dans le cas particulier oø u =a?n n N 02. Dans la suite on revient au cas gØnØral u > 0.0DØmontrer que :108t>a 0an4. Prouver alors que pour tout entier n non nul :106u a6 (u a)n+1 n2Puis que : n 11ju aj6 ju ajn 125. En dØduire la convergence de la suite (u ) et indiquer sa limite.n6. En utilisant ce qui prØcŁde, Øcrire un programme en langage Pascal perme-ttant d’a¢ cher les 100 premiers termes d’une suite (u ), de premier termenp1, convergeant vers 2.1.3. Recherche d’extremum d’une fonction à deux variables. On considŁre ...