Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques
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Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Ecrit Probabilites Capes de Mathematiques 2008 Probleme 3 : devoir a la maison. 22/10/2007. Objectifs et notations. Le but du probleme est d'etudier un modele simple d'evolution aleatoire de population appele modele de Galton Watson. Voici le modele : 1. La generation numero 0 comporte un individu (on note D0 = 1 son cardinal). Cet indi- vidu meurt apres avoir donne naissance a un nombre aleatoire d'enfants, eventuellement nul, decrit par la loi d'une variable aleatoire W . La premiere generation comporte alors D1 = W individus. 2. Si D1 6= 0, alors chaque individu de la premiere generation se comporte comme l'indi- vidu de la generation 0 : il meurt apres avoir donne naissance a un nombre aleatoire d'enfants, eventuellement nul, decrit par la loi d'une variable aleatoire W . On note D2 le cardinal de la deuxieme generation. Si D2 > 0, on reprend le procede pour obtenir la troisieme generation, et ainsi de suite. On note Dn le cardinal de la n-ieme generation. 3. On suppose que les nombres d'enfants des differents individus des differentes generations sont des variables aleatoires independantes identiquement distribuees de meme loi que W donnant le nombre d'enfants d'un individu. On note ?k ? N, pk = P(W = k). Formellement, on peut representer le modele comme suit : on considere une suite double (Xi,j)i,j≥1 de variables aleatoires independantes qui ont chacune la meme loi que W et sont telles que D0 est

  • generation numero

  • ?z ?

  • modele

  • modele de galton watson

  • indi- vidu de la generation

  • differents individus des differentes generations

  • lemme de cesaro

  • temps d'extinction de la descendance de d0


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Langue Français

Exrait

EcritProbabilite´s
Proble`me3:devoira`lamaison. 22/10/2007.
CapesdeMathe´matiques2008
Objectifs et notations. Lebutduproble`meestde´tudierunmode`lesimpled´evolutionale´atoiredepopulation appel´emode`ledeGaltonWatson.Voicilemod`ele: 1.Lage´ne´rationnume´ro0comporteunindividu(onnoteD0= 1 son cardinal). Cet indi-vidumeurtapre`savoirdonn´enaissancea`unnombreale´atoiredenfants,´eventuellement nul,de´critparlaloidunevariableal´eatoireWsrolaetropmoerationcereg´en´aLrpme`i. D1=Windividus. 2. SiD16i-ndig´en`eretion´erapmroesocmmleetocremielapidudndivuqiecsahlaro=,0 vidudelag´ene´ration0:ilmeurtapr`esavoirdonne´naissance`aunnombreale´atoire denfants,´eventuellementnul,d´ecritparlaloidunevariableale´atoireW. On note D2iS.nleedaledxuacdrnilan´eratioi`emeg´eD2>rno,erpe0d´´eoueplendocprr obtenirlatroisie`mege´ne´ration,etainsidesuite.OnnoteDnle cardinal de lan-emi`e g´ene´ration. 3.Onsupposequelesnombresdenfantsdesdie´rentsindividusdesdie´rentesge´ne´rations sontdesvariablesal´eatoiresinde´pendantesidentiquementdistribue´esdemˆemeloique Wdonnant le nombre d’enfants d’un individu. On notekN, pk=P(W=k). Formellement,onpeutrepr´esenterlemode`lecommesuit:onconside`reunesuitedouble (Xi,j)i,j1leioˆmmeuqedveariablesal´eatoiisere´dndnepetnauisqtconcuhalaneWet sont telles queD0nepe´dnisedetnad(estXi,j)i,j1usaletirrucecnepars´errdn´iOenlo.ta (Dn)n1par +X n0D= n+11{iDn}Xn,i. i=1 On suppose que 0< p0<1, et on remarque que +X pk= 1. k=0 On note, pour toutnN,un=P(Dnroapbibat´liueeqall)0=nationsoitvide.-`imegee´´nre On dit qu’il y aextinctionsi et seulement si il existenNtel queDn=0e´netv´.eCneemt estnot´eExt.Silensemble{kN:Dk= 0}est non vide, on pose L= inf{kN:Dk= 0}, et on poseL= +at´ereoiabrialleon.naLavisLdsrusnaa`,elavN∪ {+∞},ereleestnrpe´ temps d’extinction de la descendance deD0.
I.Premiersr´esultatssurlemod`eledeGaltonWatson. 1. Montrerque s’il existenNtel queDn= 0, alorsk0, Dn+k= 0. 2.End´eduirequelasuite(un)nNconverge vers une limite`[0,1]. 3. MontrerquePlim(Ext) =un=`. n+
4. Montrerque{Dn>0}={L > n}irdu´endurpoueeqottuetenN,P(L > n) = 1un.
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EcritProbabilit´es
CapesdeMathe´matiques2008
II.Fonctionsge´ne´ratricesetmod`eledeGaltonWatson. Pourtoutevariableale´atoireXansdsva`aurleNec:atrin´erng´ectioserenofanocn`dis,o +X X k z[0,1], gX(z) =E(z) =P(X= 0) +P(X=k)z . k=1 1. MontrerquegXnituneapplicatio[edn0´de,1] dans [0,1] et quegX(1) = 1. 2. Donnerune relation simple entreP(X= 0) etgX(0). 3. Montrerque siXetYsuvral`eaansdNsoinntrssetnola,pe´dadne z[0,1], gX+Y(z) =gX(z)gY(z). 4. Soient(Xnuiesun)´laselbairavedetepenind´ireseatoleioˆmmeseedadtndnon´ge´e´neee´r `avaleursdansNetTsnauenavirbaellae´atoire`avaleursdN´dniesedtnadnepe pr´ece´dentes.Ond´enit n X S0et= 0nN, Sn=Xj, j=1 puisS(ω) =ST(ω)(ω) pour toutωΩ. Montrer que sigTetgXofseltnengise´dnctions g´en´eratricesdeTetX1edea,olare´cirtontieng´larsncfoSeeapndot´sner z[0,1], gS(z) =gTgX(z). Indication.Pour calculergSounp,oseltelavsruesp´erancesuivanrrdae´ocpmsorel prises parT:  !! +X S S gS(z) =E(z) =Ez1{T=k}. k=0 5.Revenonsaumod`eledeGaltonWatson.Onnoteg´engern´onafioctlirtaedecWet, pour toutnN, on notegndecirtareno´gnee´alofcnitDnqeeutnoM.r´arrprencreurec gnest lan´er´meiti-e`eedeg`tseridaeuqe,cg0= Id,g1=g,g2=gg,g3=ggg. . . Ende´duireque,pourtoutnN,gn+1=gng=ggn. 6. Montrerque la suite (un)nNctseacarert´´eisarep u0= 0 n0, un+1=g(un). 7. Montrerquegest continue sur [0,miteequelalite]e1irdu´end`de la suite (un)nN satisfaitg(`) =`.
III. Un premier exemple avec0ou1enfant Onsupposequunindividunepeutavoirque0ou1enfant,cest-a`-direque p0+p1= 1. On suppose de plusp0>0. 1. Montrerque pour toutnN,Dnne peut prendre que les valeurs 0 ou 1. 2. Calculerget montrer que nN, un+1=p0+p1un. 3. ExprimerP(Dn>0) en fonction denetp1rilelamietdne´ud,e(teuiaseleditun)nN. 4.De´terminerlaloietdonnerlespe´rancedeL.
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EcritProbabilite´s
CapesdeMath´ematiques2008
IV. Etude de la suite(un)nNdanse´gsacel.lare´n Onsupposedore´navantquep0>0 etp0+p1<1. On suppose qu’il existeα >1 tel que +X k lase´riepkαconverge. k=0 0 1. MontrerqueWni´tetsuetqeeblraegEW=g(1). 2. Montrerqueg´dineenutlppaaticnioCde [0,adsnul-iˆmme.e1] 0 3. Montrerque sur [0,1],g0 et quegest strictement convexe sur [0,1]. 0 4. Onsuppose icig(1)1. (a)Donnerl´equationdelatangente`alacourberepr´esentativedegau point d’abs-cisse1.Enutilisantlaconvexit´edeg, montrer que 1 est l’unique point fixe deg dans [0,1]. (b)End´eduirequesiEW1, alorsP(Ext) = 1. 0 5. Onsuppose ici queg(1)>1. (a) Pourz[0,1], on poseh(z) =g(z)z. Montrer qu’il existez0]0,1[ tel que pour toutz[z0,1[,h(z)<0. (b)Ende´duirequegadmet un point fixes]0,1[. (c) Montrerquegadmet exactement deux points fixes 1 ets]0,1[ dans [0,1]. (d)Montrerparre´currencesurnque pour toutnN,uns. (e) Montrerque siEW >1, alorsP(Ext) =s <1.
V.Unlemmepourlesvariablesal´eatoiresentie`res. SoitXvenutoirl´eableaariasnsradlaue`evaN. On souhaite montrer queXadmet une esp´erancesietseulementsilas´eriedetermege´n´eral(P(X > n))nNconverge, et que dans ce cas +X EX=P(X > n). n=0 1. Montrerque pour toutN1,
N N1 X X kP(X=k) =P(X > k)NP(X > N). k=1k=0
2. Onsuppose d’abord queXeuqe´saleireetede,ncesc`at-ir-damdtenueepse´arrme g´en´eral(nP(X=n))nNconverge. (a) Montrerque pour toutN1,
+X NP(X > N)kP(X=k). k=N+1
(b)End´eduirequeNP(X > N) tend vers 0 quandNtend vers +eire´saleuqte, determeg´ene´ral(P(X > n))nNconverge. 3. Soit(xn)nNmeer´eelspositifsteleluqlesae´irdeteneuitsu´eedoicrnassedetbmonrser ge´n´eral(xn)nNconverge. On souhaite montrer quexn=o(1/n).
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