Ecrit Probabilites Capes de Mathı¿12matiques
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Niveau: Supérieur, Bac+5
Ecrit Probabilites Capes de Mathı¿12matiques 2008 Probleme 2 : correction. Bareme Preliminaires (5) : 1(1).2(2).3(2). IA(5) : 1(3).2(1).3(1). IB(9) : 1(1).2(2).3(2).4(2).5(2). IIA( ?) : 1(2).2(2) Preliminaires 1. La loi de la variable aleatoire X est une probabilite sur N. Par definition d'une probabilite sur N, gX(1) = +∞∑ k=0 P(X = k) = 1, donc le rayon de convergence de gX est superieur ou egal a 1. 2. gX est une serie entiere de rayon de convergence R, donc elle est derivable sur ]?R,R[ et ?x ?]?R,R[, g?X(s) = +∞∑ k=1 kP(X = k)sk?1. Comme R > 1, cette formule est valable au point 1 et donne g?X(1) = +∞∑ k=1 kP(X = k). On en deduit d'une part que la serie de terme general (kP(X = k))k?N converge, donc que la variable aleatoire X est integrable, et d'autre part que EX = +∞∑ k=1 kP(

  • variable aleatoire

  • derivation sous le signe

  • serie geometrique de raison

  • probabilite

  • serie

  • attention au signe des quantites majorees

  • variables aleatoires de loi uniforme

  • rayon de convergence


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EcritProbabilite´s
Proble`me2:correction.
Bar`eme Pr´eliminaires(5):1(1).2(2).3(2). IA(5) : 1(3).2(1).3(1). IB(9) : 1(1).2(2).3(2).4(2).5(2). IIA( ?): 1(2).2(2)
1 CapesdeMathı¨¿matiques2008 2
Pr´eliminaires 1.Laloidelavariableal´eatoireXse´tilibaborpenuesturNiuonidtnn´eerdPa. +X probabilite´surN,gX(1) =P(X=k) = 1, donc le rayon de convergence de k=0 gX´uorueir.1a`lage´euptses 2.gXecnenocegreve`erneitoydnedarestuerienes´R´etdvarielncesleod,lbseru ]R, R[ et +X 0k1 x]R, R[, g(s) =kP(X=k)s . X k=1 CommeR >1, cette formule est valable au point 1 et donne +X 0 g(1) =kP(X=k). X k=1 Onend´eduitdunepartquelas´eriedetermege´ne´ral(kP(X=k))kNconverge, doncquelavariableal´eatoireXitsee´tnbargaptrtuerdtaele,que +X 0 EX=kP(X=k) =g(1). X k=1 P +k1k 3.Parde´nitiondelaloige´ome´trique,gX(s) =p(1p)s. Le rayon de k=1 convergenceRmelAded:trebareptnd´eosnleegr`la k 1p(1p) = lim= 1p. k1 R p(1p) k+
DoncR= 1/(1p)>1. Pour|s|< R, on obtient ps p 0 gX(set) =g(s) =. X 2 1s(1p) (1s(1p))
01 Dapre`slaquestionpre´c´edente,onobtientEX=g.(1) = X p
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EcritProbabilit´es
1 CapesdeMath¨ı¿matiques2008 2
I. A. 1.Onconsid`erelexpe´rienceal´eatoirelancerdedeuxd´esdiscernablesnonpipe´s. 2 Lespacedeprobabilite´correspondantestluniversΩ={1, . . . ,6}muni de le´quiprobabilite´Psur l’ensemblePdes parties de Ω : pour un pointω= (ω1, ω2)Ω,ω11ote´mree´undrduultdceanesr´taulneseeletr´rpeω2tultar´esle dulancerdude´nume´ro2:lasommeSd´oesntnaneedetslleabusuanavit ω1\ω21 2 34 5 6 1 23 45 6 7 2 34 56 7 8 3 45 67 8 9 4 56 78 910 5 67 89 1011 6 78 9 10 11 12 ce qui donne la loi deS: S10 11 12(Ω) 23 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 P(S=k) 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Pourlecalculdelesp´eranceetdelavariancedeSe´no,tˆoutplitcrS=X+Y o`uXetYermeˆemdsmeinofoluind´eresiantependuevxnodtsatoial´eblesaria sur{1, . . . ,6}. Ainsi, 6 X 1 7 EX=k= 6 2 k=1 6 X 1 91 2 2 E(X) =k= 6 6 k=1 35 2 2 VarX=E(X)(EX) = 12 ES=EX+EY= 2EX= 7 35 VarS= VarX+ VarYVar= 2X=. 6 2.Onlev´eriesurletableaudonnantlaloideS. 31k 3.Onutiliselesformulesdelaquestionpre´c´edente:P(S6∈ {k,7}) =pour 36 17+k k∈ {4,5,6}, etP(S6∈ {k,7}pour) =k∈ {8,9,10}. 36 I.B. 2 1.P(H1) =P(S1∈ {7,11}) =. 9 2. Pourn2 et pourk∈ {4,5,6},enutilisantlni´dpeneadcndeseno,srecnal
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EcritProbabilite´s
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obtient   T n1 P{S1=k} ∩ {Sn=k{} ∩Sj/∈ {k,7} j=2 P(Hn|S1=k) = P(S1=k) Q n1 P(S1=k)P(Sn=k)P(Sj/{k,7}) j=2 = P(S1=k)  n2 k1 31k =. 36 36 3. Soitk∈ {4,5,6},eal´sreeiedetmreg´en´eralxD.e´rpalse`euqaiostr´np´eecntde 31k (P(Hn|S1=k))n2edeusiarnoetsnuse´erieg´eom´etriq<1. Elle est donc 36 convergente;onend´eduit(enremarquantqueles(Hn)n2sx-eutdonxeu-d`a disjoints) :  ! [ P(H|S1=k) =P{Hn}S1=k n2  n2 X X k1 31k =P(Hn|S1=k) = 36 36 n2n2 k1 1k1 = =. 31k 36 1k5 36 4.Pardescalculsanaloguesa`ceuxdesdeuxquestionspr´ec´edentes,outrouve,pour  n2 13k17 +k ourn2 et pourk∈ {8,9,10},P(Hn|S1=k) =, qui est 36 36 17+k letermege´n´eraldunes´erieg´eom´etriquederaison<1, donc convergente, 36 13k etP(H|S1=k) =. 19k 5.Lesyst`eme({S1=k})2k12tbsa-loitripeb´odesemrlulafo.Parplettcomse tales : 12 X P(H) =P(H∩ {S1=k}) k=2 Remarquonsque,dapr`eslesr`eglesdujeu,P(H∩ {S1∈ {7,11}) =P(H1), et que sik∈ {2,3,12}, alorsP(H∩ {S1=k}apr`c,d.Don)=0ucslcslaseel pre´ce´dents, X P(H) =P(H1) +P(H∩ {S1=k}) k∈{4,5,6,8,9,10} X =P(H1) +P(H|S1=k)P(S1=k) k∈{4,5,6,8,9,10} 6 11 X X 2k1k1 13k13k = ++ 9k36 19+ 5k36 k=4k=8 244 ='0,493. 495 Laprobabilite´estle´ge`rementinfe´rieure`a1/2.
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EcritProbabilit´es
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II.A. ∗ ∗ 1.De´terminonslaloideTa:onad´ej`T(Ω) =N. Maintenant, pournN, comme les (En)nNitdnmeneeullmttuson:tneibtno,otsanndpe´e  ! n1n1 \ Y c c =P(E P(T=n) =PEnP(Ek Ek n) ). k=1k=1 c Siktest impair, c’est le joueur 1 qui joP(.E q ue, doncP(Ek) =p1ek) =1 c E=q2. Sikest pair, c’est le joueur 2 qui joue, doncP(Ek) =p2etP(k) Finalement, il vient : pour toutkN, k P(T= 2k= (+ 1)q1q2)p1, k P(T= 2k= (+ 2)q1q2)q1p2. 2. ++X X p1 k P(G1) =P(Timpair =P(T= 2k(+ 1) =q1q2)p1=, 1q1q2 k=0k=0 ++X X kq1p2 P(G2) =P(Tpair =P(T= 2k(+ 2) =q1q2)q1p2=. 1q1q2 k=0k=0 Commentairesde´taille´s. Defac¸ong´ene´rale Danslesmajorations,faireattentionausignedesquantit´esmajor´ees(ici,pour majorerunefonctionge´n´eratriceg(s), faire attention au signe des). Onnutilisepasdabr´eviations. – Nepas confondre{k,7}eem(e´)stnu`eeldbalmee´sxnet{k, . . . ,7}( ensemble comprenant tous les entiers entreket 7. Pourappliquerlere´sultatdunequestionpre´c´edenteoudunth´eor`eme,ilfaut ve´rierqueleshypoth`esessontsatisfaites. Nepasconfondre´ev´enementsdisjointsete´v´enementsind´ependants. Pourpouvoire´crireP(AB) =P(A)P(B), il faut queAetBs.ntdaenepd´nitneios Ilfautle´criredanslar´edaction. Pourpouvoire´crireP(AB) =P(A) +P(B), il faut queAetBsoient disjoints. Ilfautle´criredanslare´daction. Pourunevariableale´atoirequineprendquunnombrenidevaleurs,ilpeut eˆtreagre´abledepre´sentersaloidansuntableau(ici,pourSpar exemple). – SiPpenuabortse(urlibiest´F,P), etBe´enemtnu´nvetelqueP(B)>0, alors laprobabilit´econditionnelleP(.|Br(estu)uvelnenobobaelrpe´uslitiF,P). En particulier,ellesatisfaittouteslespropri´ete´sduneprobabilit´e.Parexemple,si les (An)nNtsinjoisrslo,asontdes´ev´enemetndsue-xa`d-uedx  ! [ X PAnB=P(An|B). nNnN
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