Ecrit Probabilites Capes de Mathı¿12matiques

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Ecrit Probabilites Capes de Mathı¿12matiques 2008 Probleme 2 : correction. Bareme Preliminaires (5) : 1(1).2(2).3(2). IA(5) : 1(3).2(1).3(1). IB(9) : 1(1).2(2).3(2).4(2).5(2). IIA( ?) : 1(2).2(2) Preliminaires 1. La loi de la variable aleatoire X est une probabilite sur N. Par definition d'une probabilite sur N, gX(1) = +∞∑ k=0 P(X = k) = 1, donc le rayon de convergence de gX est superieur ou egal a 1. 2. gX est une serie entiere de rayon de convergence R, donc elle est derivable sur ]?R,R[ et ?x ?]?R,R[, g?X(s) = +∞∑ k=1 kP(X = k)sk?1. Comme R > 1, cette formule est valable au point 1 et donne g?X(1) = +∞∑ k=1 kP(X = k). On en deduit d'une part que la serie de terme general (kP(X = k))k?N converge, donc que la variable aleatoire X est integrable, et d'autre part que EX = +∞∑ k=1 kP(

• variable aleatoire


• derivation sous le signe


• serie geometrique de raison


• probabilite


• serie


• attention au signe des quantites majorees


• variables aleatoires de loi uniforme


• rayon de convergence

Sujets

• Variable aléatoire
• Probabilité
• Rayon de convergence

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Extrait

EcritProbabilite´s

Proble`me2:correction.

Bar`eme Pr´eliminaires(5):1(1).2(2).3(2). IA(5) : 1(3).2(1).3(1). IB(9) : 1(1).2(2).3(2).4(2).5(2). IIA( ?): 1(2).2(2)

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Pr´eliminaires 1.Laloidelavariableal´eatoireXse´tilibaborpenuesturN’iuonidtfinn´eerdPa. +∞ X probabilite´surN,g X (1) =P(X=k) = 1, donc le rayon de convergence de k=0 g X ´uorueir.1a`lage´euptses 2.g X ecnenocegreve`erneitoydnedarestuerienes´R´etdvarielncesleod,lbseru ]−R, R[ et +∞ X 0k−1 ∀x∈]−R, R[, g(s) =kP(X=k)s . X k=1 CommeR >1, cette formule est valable au point 1 et donne +∞ X 0 g(1) =kP(X=k). X k=1 Onend´eduitd’unepartquelas´eriedetermege´ne´ral(kP(X=k)) k∈N converge, doncquelavariableal´eatoireXitsee´tnbargaptrtuerdta’ele,que +∞ X 0 EX=kP(X=k) =g(1). X k=1 P +∞ k−1k 3.Parde´finitiondelaloige´ome´trique,g X (s) =p(1−p)s. Le rayon de k=1 convergenceRmelA’ded:trebareptnd´eosnleegr`la k 1p(1−p) = lim= 1−p. k−1 R p(1−p) k→+∞

DoncR= 1/(1−p)>1. Pour|s|< R, on obtient ps p 0 g X (set) =g(s) =. X 2 1−s(1−p) (1−s(1−p))

0 1 D’apre`slaquestionpre´c´edente,onobtientEX=g.(1) = X p

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I. A. 1.Onconsid`erel’expe´rienceal´eatoire”lancerdedeuxd´esdiscernablesnonpipe´s”. 2 L’espacedeprobabilite´correspondantestl’universΩ={1, . . . ,6}muni de l’e´quiprobabilite´Psur l’ensemblePdes parties de Ω : pour un pointω= (ω 1 , ω 2 )∈Ω,ω 1 1ote´mree´undrduultdceanesr´taulneseeletr´rpeω 2 tultar´esle dulancerdude´nume´ro2:lasommeSd´oesntnaneedetslleabusuanavit ω 1 \ω 2 1 2 34 5 6 1 23 45 6 7 2 34 56 7 8 3 45 67 8 9 4 56 78 910 5 67 89 1011 6 78 9 10 11 12 ce qui donne la loi deS: S10 11 12(Ω) 23 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 P(S=k) 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Pourlecalculdel’esp´eranceetdelavariancedeSe´no,tˆoutplitcrS=X+Y o`uXetYermeˆemdsmeinofoluind´eresiantependuevxnodtsatoial´eblesaria sur{1, . . . ,6}. Ainsi, 6 X 1 7 EX=k= 6 2 k=1 6 X 1 91 2 2 E(X) =k= 6 6 k=1 35 2 2 VarX=E(X)−(EX) = 12 ES=EX+EY= 2EX= 7 35 VarS= VarX+ VarYVar= 2X=. 6 2.Onlev´erifiesurletableaudonnantlaloideS. 31−k 3.Onutiliselesformulesdelaquestionpre´c´edente:P(S6∈ {k,7}) =pour 36 17+k k∈ {4,5,6}, etP(S6∈ {k,7}pour) =k∈ {8,9,10}. 36 I.B. 2 1.P(H 1 ) =P(S 1 ∈ {7,11}) =. 9 2. Pourn≥2 et pourk∈ {4,5,6},enutilisantl’ni´dpeneadcndeseno,srecnal

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obtient   T n−1 P{S 1 =k} ∩ {S n =k{} ∩S j /∈ {k,7} j=2 P(H n |S 1 =k) = P(S 1 =k) Q n−1 P(S 1 =k)P(S n =k)P(S j ∈/{k,7}) j=2 = P(S 1 =k)   n−2 k−1 31−k =. 36 36 3. Soitk∈ {4,5,6},eal´sreeiedetmreg´en´eralfixD.e´rpa’lse`euqaiostr´np´eecntde 31−k (P(H n |S 1 =k)) n≥2 edeusiarnoetsnuse´erieg´eom´etriq<1. Elle est donc 36 convergente;onend´eduit(enremarquantqueles(H n ) n≥2 sx-eutdonxeu-d`a disjoints) :  ! [ P(H|S 1 =k) =P{H n }S 1 =k  n≥2   n−2 X X k−1 31−k =P(H n |S 1 =k) = 36 36 n≥2n≥2 k−1 1k−1 = =. 31−k 36 1 − k−5 36 4.Pardescalculsanaloguesa`ceuxdesdeuxquestionspr´ec´edentes,outrouve,pour   n−2 13−k17 +k ourn≥2 et pourk∈ {8,9,10},P(H n |S 1 =k) =, qui est 36 36 17+k letermege´n´erald’unes´erieg´eom´etriquederaison<1, donc convergente, 36 13−k etP(H|S 1 =k) =. 19−k 5.Lesyst`eme({S 1 =k}) 2≤k≤12 tbsa-loitripeb´odesemrlulafo.Parplettcomse tales : 12 X P(H) =P(H∩ {S 1 =k}) k=2 Remarquonsque,d’apr`eslesr`eglesdujeu,P(H∩ {S 1 ∈ {7,11}) =P(H 1 ), et que sik∈ {2,3,12}, alorsP(H∩ {S 1 =k}apr`c,d’.Don)=0ucslcslaseel pre´ce´dents, X P(H) =P(H 1 ) +P(H∩ {S 1 =k}) k∈{4,5,6,8,9,10} X =P(H 1 ) +P(H|S 1 =k)P(S 1 =k) k∈{4,5,6,8,9,10} 6 11 X X 2k−1k−1 13−k13−k = ++ 9k36 19+ 5−k36 k=4k=8 244 ='0,493. 495 Laprobabilite´estle´ge`rementinfe´rieure`a1/2.

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II.A. ∗ ∗ 1.De´terminonslaloideTa:onad´ej`T(Ω) =N. Maintenant, pourn∈N, comme les (E n ) n∈N itdnmeneeullmttuson:tneibtno,otsanndpe´e ∗  ! n−1n−1 \ Y c c ∩=P(E P(T=n) =PE n P(E k E k n ) ). k=1k=1 c Siktest impair, c’est le joueur 1 qui joP(.E q ue, doncP(E k ) =p 1 e k ) = 1 c E=q 2 . Sikest pair, c’est le joueur 2 qui joue, doncP(E k ) =p 2 etP( k ) Finalement, il vient : pour toutk∈N, k P(T= 2k= (+ 1)q 1 q 2 )p 1 , k P(T= 2k= (+ 2)q 1 q 2 )q 1 p 2 . 2. +∞+∞ X X p 1 k P(G 1 ) =P(Timpair =P(T= 2k(+ 1) =q 1 q 2 )p 1 =, 1−q 1 q 2 k=0k=0 +∞+∞ X X k q 1 p 2 P(G 2 ) =P(Tpair =P(T= 2k(+ 2) =q 1 q 2 )q 1 p 2 =. 1−q 1 q 2 k=0k=0 Commentairesde´taille´s. Defac¸ong´ene´rale –Danslesmajorations,faireattentionausignedesquantit´esmajor´ees(ici,pour majorerunefonctionge´n´eratriceg(s), faire attention au signe des). –Onn’utilisepasd’abr´eviations. – Nepas confondre{k,7}eem(e´)stnu`eeldbalmee´sxnet{k, . . . ,7}( ensemble comprenant tous les entiers entreket 7. –Pourappliquerlere´sultatd’unequestionpre´c´edenteoud’unth´eor`eme,ilfaut ve´rifierqueleshypoth`esessontsatisfaites. –Nepasconfondre´ev´enementsdisjointsete´v´enementsind´ependants. –Pourpouvoire´crireP(A∩B) =P(A)P(B), il faut queAetBs.ntdaenepd´nitneios Ilfautl’e´criredanslar´edaction. –Pourpouvoire´crireP(A∪B) =P(A) +P(B), il faut queAetBsoient disjoints. Ilfautl’e´criredanslare´daction. –Pourunevariableale´atoirequineprendqu’unnombrefinidevaleurs,ilpeut eˆtreagre´abledepre´sentersaloidansuntableau(ici,pourSpar exemple). – SiPpenuabortse(urlibiest´F,P), etBe´enemtnu´nvetelqueP(B)>0, alors laprobabilit´econditionnelleP(.|Br(estu)uvelnenobobaelrpe´uslitiF,P). En particulier,ellesatisfaittouteslespropri´ete´sd’uneprobabilit´e.Parexemple,si les (A n ) n∈N tsinjoisrslo,asontdes´ev´enemetndsue-xa`d-uedx  ! [ X PA n B=P(A n |B).  n∈Nn∈N

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