EDHEC 2002 concours (1)

Description

EDHEC 2002 concours (1)

Informations

• Publié par: porthos
• Nombre de lectures: 206
• Langue: Français

Extrait

edhec 2002. Option scientifique.

EXERCICE 1 Z 1 1)a)1(Morenteuqrni’lge´telar−lnt) dtconverge et donner sa valeur. 0 Z x 1−lnt b)dMontrer quetconverge pour toutxstrictement positif. 2 2 +t  0 Z x  1−lnt ∀x >0, F(x) =dt 2 On pose alors : 2 +t 0  F(0) = 0 c)Montrer queFest continue en 0. 1 d)Montrer queFest de classeCsur ]0,+∞[ et donner ses variations (la limite deFen +∞ n’estpasdemand´ee). 2)tiusalti(efin´endOu n trremeeirap)emnn´eladoonpredesu 0 r1e=utree,ncednoce´reralital valable pour toutndeN:u n+1 =F(u n ). ´ a)Etablir que, pour toutndeN,u n ∈[0,1]. b)Montrer queu 0 ≥u 1 (rpraernri´neecrustvearrmcsedl´eenpo,disuaiitiuetlesau n ). c)Eirdu´endusaleuqe(etiu n ) est convergente. 3)Pour toutxde [0,1], on pose :g(x) =F(x)−x. 0 a)oMertn’uqrqieununusietlixelr´eeβde ]0,1] tel queg(β) = 0, puis donner les variations deg. b)lee´inunreuqnE´ddeiutenced’urel’exisαe]e´,eml´tdenβ,1] tel queg(α) = 0. 4)a)Montrer que :∀n∈N, u n ≥α. b)miEnuqleuired´edu n =α. n→+∞

EXERCICE 2 Dans cet exercice,xetyrtcietemtnopisitignentdesr´eelssse´d.sf Uncommerc¸antsefournitaupre`sd’ungrossistepourconstituersonstockaude´butdelasaison 2002,lequelconsisteenuncertainnombred’unit´esd’unproduitdeconsommation. Chaqueunit´evendueparcecommerc¸antluirapporteunb´en´eficenetdexeuros alors que chaque unite´invenduea`lafindelasaisonengendreunepertenettedeyeuros. Cecommerc¸antdoitconstituersonstockaud´ebutdelasaisonetde´sirede´terminerlataillende cestockafindemaximisersonespe´rancedegain. Onadmetquelenombred’unite´squiserontcommande´esa`cecommer¸cantpendantlasaison 2002estunevariableal´eatoirea`valeursdansN´teeno,X. On noteY n ouifitosifategn´elage´erp(niaguafinde`alalacemod)ceactnem¸rvariableal´eatoial saison 2002. Ond´esigneparU1sutvauieqirtoeaae´lailbvaraliX≤net qui vaut 0 siX > n. Onadmetquecesvariablessonttoutesde´finiessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A, P). 1)En distinguant deux cas selon la valeur deUmontrer que : Y n = (xX−(n−X)y)U+nx(1−U) 2)a)refiileuqravalbaieV´erXUprend ses valeurs dans{0,1, . . . , n}. b)ecedrenase´pe,l’sommmedesforuos,remirpxEXUlolaa`eidail’dedeX. n X c)Montrer enfin queE(Y n ) = (x+y) (k−n)P(X=k) +nx. k=0 x Dans la suite, on suppose queP(X= 0)<. x+y