EDHEC 2006 concours ECE mathématiques
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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________ MATHEMATIQUES Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ___________________ La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Exercice 1 Soitflendomorphisme de IR3dont la matrice dans la base canoniqueBde IR3est : A=2112408376. On noteIla matrice unité deM3(IR) et on poseu= (2,1,2). 1) a) Montrer que Kerf= vect(u).  b) La matriceAest-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteurvde IR3, dont la 2èmecoordonnée dansBvaut 1, et tel quef(v) = u.  b) Démontrer que le vecteurwde IR3, dont la 2èmecoordonnée dansBvaut 1, et qui vérifie f(w) =vestw= (0, 1, 1).  c) Montrer que (u,v,w) est une base de IR3 lon notera queB. On noteP matrice de la passage de la baseBà la baseB.3) a) Écrire la matriceNdefrelativement à la baseB. En déduire la seule valeur propre def. Lendomorphismefest-il diagonalisable ?  b) Donner la relation liant les matricesA,N,PetP1, puis en déduire que, pour tout entier ksupérieur ou égal à 3, on a :Ak= 0. 4) On noteCN(respectivementCA) lensemble des matrices deM3(IR) qui commutent avecN(respectivementA).  a) Montrer queCNest un sous-espace vectoriel deM3(IR) et queCN= vect(I,N,N2). On admet queCAest aussi un sous-espace vectoriel deM3(IR).  b) Établir que :MCAP1MPCN. En déduire queCA= vect(I,A,A2) . Quelle est la dimension deCA?
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