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1
SUJET MATHÉMATIQUES 2007
Option Scientifiques
Exercice 1
Pour tout
n
de IN
*
, on pose
u
n
=
e
x
n
dx
x
−
+∞
+
⌠
⌡
⎮
⎮
1
0
.
1) Montrer que la suite (
u
n
)
n
∈
IN*
est bien définie.
2) Pour tout
n
de IN
*
, on pose alors
v
n
=
e
x
n
dx
x
−
+
⌠
⌡
⎮
⎮
1
0
1
et
w
n
=
e
x
n
dx
x
−
+∞
+
⌠
⌡
⎮
⎮
1
1
a) Montrer que :
∀
n
∈
IN
*
, 0
≤
w
n
≤
1
e
.
b) Montrer que :
∀
n
∈
IN
*
,
v
n
≥
1
e
ln(
n
+
1).
c) Donner la limite de la suite (
u
n
).
3) On se propose de déterminer un équivalent de
u
n
lorsque
n
est au voisinage de +
∞
.
a) Montrer que l’intégrale
I
=
1
0
1
−
−
∫
e
x
dx
x
est une intégrale convergente.
b) Établir que :
∀
n
∈
IN
*
, 0
≤
1
1
0
1
−
+
⌠
⌡
⎮
⎮
−
e
x
n
dx
x
≤
I
.
c) En déduire un encadrement de
v
n
valable pour tout
n
de IN
*
.
d) Donner enfin, en utilisant cet encadrement, un équivalent simple de
u
n
.
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