EM LYON 2007 concours Economie

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EM LYON 2007 concours Economie

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• Publié par: porthos
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EML 2007 voie Eco

Exercice 1 Onconsid`erelamatricecarre´ed’ordretroissuivante:   1 1 0 2 2 1 1   A = 0 2 2 1 1 0 2 2 1. Montrer,sans calcul, queAest diagonalisable. 2.De´terminerunematricediagonaleDeiruq´mteteystemenursveleibriatincePd,remi`eepre    −1 ligne 111 etdedeuxie`meligne 1−1 0 , telles queA=PP D. −1 CalculerP. ∗n 3.De´terminer,pourtoutn∈N,la matriceA.´eesrspatseneml´ 4. Soientu 0 , v 0 , w 0 letseuqssotilepsnulufiosisnotrosr´embreu 0 +v 0 +w 0 = 1.    u 0 u n    ∗ On noteX 0 = v 0 et, pour toutn∈N, X n = v n arlpaiefin´eednnolocecirtamal w 0 w n relationdere´currence:X n =A X n−1 . n a) Montrer,pour toutn∈N:X n =A X 0 b)End´eduire,pourtoutn∈N:     n 1 11 u n = +u 0 − − 3 32      n 1 11 v n = +v 0 − − 3 32    n 1 11   w n = +w 0 − − 3 32 c)De´terminerleslimitesrespectivesu, v, wdeu n ,v n ,w n lorsque le nombre entierntend vers l’infini. q 2 22 On note, pour toutn∈N:d n = (u n −u() +v n −v() +w n −w) 1 d) Montrer,pour toutn∈N:d n ≤ n−1 2 −2 e)D´eterminerunentiernaturelntel que :d n ≤10

Exercice 2 Pre´liminaire On donne : 0,69<ln 2<0,70. Onconside`rel’application: 2 g+: ]0;∞[→R, x7→g(x) =x+ lnx 1. Montrerqueg+est continue et strictement croissante sur ]0;∞deslimitesmrnireele[dte´etg en 0 et en +∞ 2.Montrerquel’e´quationg(x) = 0, d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une solution et une seule. On noteαuqseu’inl´eteetecndioutol.noitauq 1 3. Montrer:< α <1 2

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