EML 2003 mathematiques classe prepa hec (ecs)

6E.M.Lyon. Math 1 . Option S. 2003PROBLEME 1On consid`ere l’application ϕ : [0;+∞[→R d´efinie, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[, par :(sintsi t = 0ϕ(t) =t1 si t = 0et on consid`ere, pour tout entier n> 1, les int´egrales :Z Z Z+∞ 1 +∞ n n nI = ϕ(t) dt, J = ϕ(t) dt, K = ϕ(t) dtn n n0 0 1Partie I : R´esultats g´en´eraux sur ϕ et Jn1) Montrer que ϕ est continue sur [0;+∞[ et que, pour tout entier n> 1, l’int´egrale J existe.n2)a)Montrer que ϕ est strictement positive sur [0;1] et que ϕ est strictement d´ecroissante sur[0;1].´b)Etablir, pour tout r´eel t∈]0,+∞[ : |ϕ(t)| < 1.3)a)Montrer, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[ : ϕ(t)> 1−t.2(On pourra ´etudier les variations sur [0;+∞[ de l’application t7→ sint−t+t ).1b)En d´eduire, pour tout entier n> 1 : J > .nn+1´Partie II : Etude de I1Z Zx xsint cosx cost1)a)Montrer, pour tout r´eel x∈ [1;+∞[ : dt = cos1− − dt.2t x t1 1b)En d´eduire que les int´egrales K et I sont convergentes.1 1122)a)Montrer, pour tout r´eel t∈ [0;+∞[ : |sint|> sin t = 1−cos(2t) .2Z +∞ cos(2t)b)Montrer que l’int´egrale dt converge.2t1c) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que l’int´egrale I n’est pas absolument convergente.1´Partie III : Etude de I , pour n> 2n1)a)Montrer que, pour tout entier n> 2, l’int´egrale K est convergente.n1´b)Etablir, pour tout entier n> 2 : |K |6nn−12)a)Montrer que la suite (J ) est d´ecroissante.n n>2b)Montrer que la suite (J ) converge; on note ‘ sa limite.n n>2´c) Etablir, pour tout entier n> ...