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ENSAE 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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A 2004 Math MP 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere MP(Duree de l’epreuve : 4 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 2-Filiere MP.Cet enonce comporte 6 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.L’epreuve comporte deux problemes completement independants.Probleme I2Soit f une fonction a valeurs reelles ou complexes, denie dans un ouvert U du plan R , deux foiscontinumeˆ nt derivable ; le laplacien de la fonction f est, par denition, la fonction, notee f, deniedans l’ouvert U par la relation suivante :2 2∂ f ∂ ff (x,y) = (x,y)+ (x,y).2 2∂x ∂y2Une fonction f a valeurs reelles ou complexes, denie dans un ouvert U du plan R , deux fois con-tinumenˆ t derivable, est ...

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Langue Français
A 2004 Math MP 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edel´epreuve:4heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`repagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`reMP.
Cet´enonce´comporte6pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´a`prendre.
L´epreuvecomportedeuxprobl`emescompl`etementinde´pendants.
Proble`meI 2 Soitfsunoedanenis,d´elexocpmseuoeellr´rseualavn`ioctnofenurevutUdu planR,deux fois continuˆmentde´rivable;lelaplaciendelafonctionft,pard´eesalofcnitntioi,neΔ,non´eotf,ed´ein dans l’ouvertUpar la relation suivante : 2 2 ∂ f∂ f Δf(x, y) =(x, y() +x, y). 2 2 ∂x ∂y 2 Une fonctionfa`avelrurse´lelesoucomplexes,dne´adeinusnevuortUdu planR,deux fois con-tinuˆmentd´erivable,estharmoniquedansUsi et seulement si son laplacien est nul dansU: 2 2 ∂ f∂ f Δf(x, y() =x, y) +(x, y) = 0. 2 2 ∂x ∂y Exemple:ene´lectrostatique,lepotentiele´lectriquedanslevideestharmonique. Lebutduproble`meestdedonnerdesexemplesdetellesfonctionspuisded´emontrercertainespro-pri´et´esdecesfonctions:leprincipedumaximum,lapropri´ete´demoyenne,lefaitquelesfonctions borne´esharmoniquesdanstoutleplansontconstantes.
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