Epita 2000 epreuve commune classe prepa mp epreuve commune 2000 classe prepa mp

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E.P.I.T.A. 2000 Mathématiques (Obligatoire : durée 3h) 1 ") Préliminaire : calcul d'une intégrale On considère dans cette question les deux fonctions G et H définies sur IR par : a) Montrer que G et H sont de classe C' sur IR (en précisant les résultats utilisés) et préciser les dérivées G' et H'. En déduire que la fonction G+H est constante sur IR, égale à n/4. x : b) Montrer l'inégalité suivante pour tout nombre réel 1 exp(-x2J )du II: 2 O I ~(x) = exp(-x2 )j I -exp(-x ). 0 l+d 4 En déduire la limite de G(x), puis de H(x), quand x tend vers +-, puis déterminer l'intégrale 1 définie par : +=- Z = 1 exp(-u2)du. O *** Dans toute la suite du problème, on désigne parfune fonction à valeurs complexes continue et intégrable sur IR et on étudie la fonction F (dite transformée de Fourier defi définie par : 2") Premières propriétés de la transformée de Fourier F de-f a) Montrer que F est définie sur IR. b) que F est continue sur IR (on citera le théorème utilisé). c) Montrer que F est bornée sur IR. 3") Un premier exemple : la transformée de Fourier de la fonction-f: t + l/(l+?) On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, queAt) = 1/(1+?). Ainsi : F(x) = j+=-e-2im' dt . - l+t2 a) Etablir à l'aide d'une intégration par parties la relation suivante pour tout nombre réel x : +=- t eW2"dt ( 1 ) mF(x)=ij - (1+t2)2 * 1 En déduire que 1 F( x) 1 5 - pour tout nombre réel x et déterminer la limite de F en fw. II:lxl b) Etablir que ...

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• Publié par: aiolos
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