Épreuve de Mathématiques

Arnaud Crouzet

Description

Épreuve de Mathématiques 2011 Correction Première partie A.1. Pour tout réel l ?≠ 0, f l est dérivable sur R? et f l£HxL = -l ‰-l x . Comme ‰a > 0 pour tout réel a, alors f l£HxL est du signe de -l. On en déduit que f l est strictement croissante si l < 0 et strictement décroissante si l > 0. 2. Soient l œR?* et a œR?. L'équation de la tangente T l, a à C l au point A d'abscisse a est donnée par y = f l£HaL Hx - aL + f lHaL . On obtient donc y = -l ‰-l aHx - aL + ‰-l a d'où y = -l ‰-l a x + ‰-l aH1 + a lL. 3.a. La courbe C l est au-dessus de sa tangente T l, a au point A, quel que soit le signe de l. b. On obtient deux allures de courbes suivant le signe de l : l>0 l<0 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 B.1.a.

• xø


• ph2 x


• loi de durée de vie sans viellissement


• temps d'attente moyen


• r?


• lim xø-¶

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 135
• Langue: Français

Extrait

b.deux allures de courbes suivant le signe deOn obtient l:

3.a.La courbeC l est au-dessus de sa tangenteT l,a au pointA, quel que soit le signe del.

2.Soientl  * eta. Léquation de la tangenteT l,a àC l au pointAicsbadessaest donnée pary=f l£ HaL Hx-aL+f l On obtient doncy= -l  -la Hx-aL+  -la doùy= -l  -la x+  -la H1+alL.

A.1.Pour tout réell0, l est dérivable suretf l£ HxL= -l  -lx . Comme a 0 pour tout réela, alorsf l£ HxLest du signe de-l. On en déduit quef l est strictement croissante sil <0 et strictement décroissante sil

Première partie

0.

HaL.

l>0

1

1

2

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6

l<0

1

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3

2

-2

3

-1

-1

nue sur@0;aD.

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-1

3

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-1

-2

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b.Soitl

Devoir Surveillé

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B.1.a.Soit un réela0. a On aA l HaL=  f l HtLtpuisque l HxL0 pour tout réelx@0;aDetf l est conti 0 1 Remarquons alors quune primitive def l sur@0;aDest donnée parx#- l -lx . 1 -lµ0 = l I1-  -l a Mu.a.

0, alors-l < Lim0 et par suite -- l a. = a+ 

ent doncA l HaL=B 1 -lt F a 0 -= l 1  - 1 On obti-  l a - -  l l

 1

erminale S

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Correction

Épreuve de Mathématiques 2011

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5

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3

2

2

2 

 Devoir Surveillé

erminale S

 Donc comme Lim X = Lim0, par composition, on obtient -l a =0. X - a+ 1 1 On en déduit a L  imI1-  -l a M= l . + l Soitl <0, alorsl0. - Ainsi Lim- l a = + Limet comme X = +, par composition de limites, Lim -l a = +. a+ X + a+ 1 1 Par suite a L  i + m  H1-  -l a L= -et comme<0 alors a L  i + m  l I1-  -l a M= +. l 1 Finalement LimA l HaL= l sil > . 0 a+ +sil <0 2.a.Les fonctionst#t f l HtLett#t 2 f l HtLsont continues sur@0;aDpour tout réela0 comme produit de fonctions continues sur@0;aDdoncI l HaL=  0 a t f l HtLtetJ l HaL=  0 a t 2 f l HtLtixenetst. b.PourI l HaL: La formule dintégration par parties donne: a I l HaL=Btµ - 1  l -lt F 0 -  0 a 1  l µ - 1  -lt tdoùI l HaL l =- a -l a  l - - 0  -lµ0 l + 1  0 a f l HtLtet finale- a1 1 -l mentI l HaL l =- -l a + l I1-  -l a MdoùI l HaL= 1-  a l H 2 1+ a lL . l

Calculons LimI l HaL. a+ ◊Soitl0 .

1-  -l a +H-l aL -l a On a pour tout réela0,I l HaL=. l 2 Or comme-l <0, Lim- l a = - Limet on sait queX X = Lim0 donc par compositionH-l aL -l a =0 . a+ X - a+ On a montré que LimH1-  -l a L=1. a+ 1-  -l a H-l aL -l a 1 1 = Par conséquent, on obtient a L  i + m  l 2 + l 2 = l 2 doù a L  i + m  I l HaL. l 2 ◊Soitl <0. On a montré que Lim -l a = +. a+ De plus LimH1+ l aL= -doù Lim 1-  -l a H1+ l aL= +. a+ a+ 1-  -l a H1+ a lL1  On a don e 0. Finalement a L  i + m  l 2 = +puisqu l 2 c dans ce cas a L  i + m  I l HaL= +. Pour l HaL: La formule dintégration par parties donne: - l HaL=Bt 2  l µ - 1  -lt F 0 a -  0 a 2tµ - 1  lt t=Bt 2 µ - 1 l  -lt F a 0 + 2 l I l HaL. l - a 2 2 1-  l a H1+ a lL 2 On en déduit doncJ l HaL= -  l   -l a + µ 2 = 2-  -l a H2 l + 3 2a l + a 2 lL . l l Calculons LimJ l HaL. a+ ◊Soitl0. 1 2 2 a. = Comme a L  i + m  I l HaL= l 2 alors a L  i + m  l I l H L l 3



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Devoir Surveillé

erminale S

a On a dautre part a 2 l a = H-l aL 2  -l  l  - l 3 pour tout réela. Comme Lim- l a = - Limet commeX 2  X = Lim0, alors on obtientH-l aL 2  -l a =0. a+ X - a+ a 2  2 22 2 Par conséquent, on en déduit a L  i + m  l - -l a l +I l HaL= a L  i + m l I l HaL= l 3 . Finalement LimJ l HaL= l 3 .  a+ ◊Soitl <0.

On sait que Lim -l a = +. a+ commel 2 0, on a LimH2+2l a + l 2 a 2 L= +(comme polynôme du second degré ena). a+ Par produit, on obtient alors Lim 1-  -l a H2+2l a + l 2 a 2 L= -. a+ 1-  -l a H2+2l a + l 2 a 2 L Enfin commel 3 <0, alors Lim l 3 = +. a+ Finalement LimJ l HaL= +. a+

C.Soitlest un réel strictement positif. 1.a.Comme a 0 pour tout réela, alors -lx tout réelx0.

0 pour tout réelx

0 et commel

0 alorsj l HxL= l  -lx

 3

0 pour

La fonctionj l est clairement continue sur@0;+@puisque composée des fonctionsx#-lxetx# x octnnieus  sur.   x HtLt= l  x Enfin, on remarquej l = lf l donc pour tout réelx0,j l f l HtLt. 0 0 Par conséquent x L  i + m   0 x j l HtLt= l µLim  0 x f 1 x + l HtLt=lµ= l 1 daprès la questionB.1.b. La fonctionj l vérifie les 3 conditions données:j l est une densité de probabilité sur@0;+@. b.SoitX l suit la loi de probabilité de densitéune variable aléatoire qui j l . La variable aléatoireX l suit la loi exponentielle de paramètrelloi de durée de vie sans viellissement.encore appellée 1 2.a.On al Lim0. On sait donc queI l HxL= l 2 . x+ On remarque alors queEHX l L= x L  i + m   0 x tj l HtLt=Liml  0 x t f l HtLt= l x L  i + m  I l HaL. x+ x 1 1 uisque LimI l HxLexiste et on == l µ. DoncEHX l L= x L  i + m   0 tj l HtLexiste p x+ aEHX l L l 2 l b.Le temps dattente en minutes à un standard téléphonique est une variable aléatoireY l qui suit une loi exponen- tielle de paramètrel.

LespéranceEHY l Lreprésente alors le temps moyen dattente à ce standard. Sachant que ce temps moyen est de 5 minutesm déterminer la probabilité dattendre encore 5 minutes, sachant quon a déjà attendu 2 minutes.

Y l suit une loi exponentielle de paramètreldonc pour tout intervalle@a;bDinclus dans@0;+@, b PHaXbL=  a j l HtLt. Déterminonsl. 1 On a montré précédemment queEHY l L= l et on nous dit que ce temps dattente moyen est de 5 minutes. 1 1

On en déduit=5 doùl =. l5

4 

 Devoir Surveillé erminale S

Enfin la probabilité dattendre encore 5 minutes, sachant quon a déjà attendu 2 minutes est donc la probabilité PH2X5L conditionnelleP HX2L H2X5L= PHX2L puisqueH2X5L › HX2L=H2X5L. Or on a: 7 PH2X7  L 2 l HtLt= 5 1 µB-5 - 1 5 t F 7 2 =  - 2 5 -  - 7 5 =  - 5 2 H1-  -1 L = j  2 PHX2L=PHX2L=1-PH0X2L=1-  0 j l HtLt= 1 5 µB-5 - 1 5 t F 2 0 =1-J1-  - 2 5 N=  - 5 2 . 2 7 - -  5 -  5 La probabilité cherchée est doncp= 2 =1-  -1 . -  5 Remarque: Sachant que lon est en présence de la loi de durée de vie sans viellissement, la probabilité dattendre encore 5 minutes ne dépend pas de combien de minutes, on a déjà attendu. Donc la probabilité cherchée estPH0X5L=1-  -1 . x lt 2 3.On a pour tout réelx0,  0 x t 2 j l HtLt=  0 f l HtLt= lJ l HxL. 2 2 1 1 Alors comme Li + m  J l HxL= 3 , on en déduit queVHX l Lexiste et de plusVHX l L=lµ l 3 - l 2 l = 2 . x l

Deuxième partie

A.1.Parité: Pour tout réell0, al fonctiong l est paire. En effet pour tout réelx,-xest réel et de plusg l H-xL=  -lH-xL 2 =  -lx 2 =g l HxL. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à laxe des ordonnées.

Limites:On différentie les casl0 etl <0.

◊Pourl0:-l <0. On a LimH-lx 2 L= -et Lim X =0 donc Lim -lx 2 =0. x+ X- x+ On a LimH-lx 2 L= -donc Lim -lx 2 =0. x-x- Finalement Limg l HxL= Lim0 etg l HxL=0. x+x- La droite déquationy=0 est asymptote horizontale àG l en+et en-.

◊Pourl <0:-l0. On a LimH-lx 2 L= +et Lim X = +donc Lim -lx 2 = +. x+ X+ x+ On a LimH-lx 2 L= +donc Lim -lx 2 = +. x-x- Finalement Limg l HxL= +et Limg l HxL= +. x+x-

Variations: Pour tout réell0, la fonctiong l est dérivable surcomme composée des fonctionsx#-lx 2 etx# x dériv- ables suret pour tout réelx,g l£ HxL= -2lx -lx 2 . Comme une exponentielle est toujours strictement positive, on sait donc queg l£ HxLest du signe de-2lxsur. On différentie alors les casl0 etl <0.

◊Pourl0:-l <0 donc-2lxest du signe opposé à celui dex. On en déduitg l£ HxL<0 pourx0 etg l£ HxL0 pourx<0. La fonctiong l est donc strictement croissante surD- ; 0Det strictement décroissante sur@0;+@. ◊Pourl <0:-l0 donc-2lxest du signe dex. On en déduitg l£ HxL<0 pourx<0 etg l£ HxL0 pourx0. 

Devoir Surveillé

  La fonctiong l est donc strictement décroissante surD- ; 0Det strictement croissante sur@0;+@.

erminale S  5

2.a.On a vu queg l£ HxL= -2lx -lx 2 pour tout réelx.g l£ est clairement dérivable surcomme produit et com- posée de fonctions dérivables sur. Pour tout réelx,g l  HxL= -2l  -lx 2 -2lxµH-2lx -lx 2 L=2l  -lx 2 H2lx 2 -1L.

b.On résout léquationg l  HxL=0 cest à dire 2l  -lx 2 H2lx 2 -1L=0. Or commel0 et comme -lx 2 0 pour tout réelx, cela revient donc à résoudre léquation 2lx 2 -1=0. On distingue les casl0 etl <0.

◊Pourl <0. Alors 2lx 2 0 pour tout réelxdoùH2lx 2 -1L -1<0. Léquation 2lx 2 -1=0 na donc pas de solution réelle. Léquationg l  HxL=0 na pas de solution sur. La courbeG l ne présente aucun point où elle traverse sa tangente. On peut vérifier que la courbeG l est toujours au-dessus de ses tangentes. ◊Pourl0. Commel0, alors 2lx 2 -1=I2lxM 2 -1 2 =I2lx-1M I2lx

Léquationg l  HxL=0 revient donc àI2lx-1M I2lx+1M=0. 1 1 Il y a donc 2 solutions à léquation:x 1 =etx 2 = -. 2l2l

+1M.

La courbeG l présente donc 2 points où elle traverse ses tangentes: les points dabscissesx 1 =

c.deux allures de courbes suivant le signe deOn obtient l:

3

-2

-1

l>0

2.0

1.5

1.0

0.5

-0.5

-1.0

1

2

3

3

-2

-1

l<0

6

5

4

3

2

1

-1

1 2l

1

etx 2

2

= -

1 2l

3

.

6 

 Devoir Surveillé erminale S

B.1.a.La fonctionx# -lx 2 est continue surdonc on sait queF l est définie et dérivable suret que F l£ HxL=  -lx 2 =g l HxLpour tout réelx. b.La fonctionF 1 est dérivable et pour tout réelx,F 1 £ HxL=  -x 2 =g 1 HxL. 1 F 1 l de fonctions dérivables su poséeest dér Alors la fonctionG:x# l KxO rivable comme comet pour tout 2 réelx,G £ HxL= 1 µ l  -JlxN =  -lx =F l£ HxL. 2 l DoncF l etGsont deux primitives de la même fonctiong l . Elles différent donc dune constanteK: on aGHxL=F l HxL+Kpour tout réelx. Rappelons alors queF l est lunique primitive deg l qui sannule en 0: on aF l H0L=0. On en déduitGHF 1 F 1 H0L=0. 0L=K, orGH0L= 1 l Kl µ0O= 1 l Par suiteK=0 etGHxL=F l HxLpour tout réelx. 1 Pour tout réelx:F l HxL=F 1 , on a légalité l KlxO.

2.Pour tout réelx,-xest réel. La fonctionG:x#-F l H-xLest dérivable suret pour tout réelx,G £ HxL= -H-F l£ H-xLL=  -lH-xL 2 =  lx 2 =g l HxL. La fonctionGest donc une primitive deg l . Remarquons alors queGH0L= -F l H0L=0. Gest donc la primitive deg l qui sannule en 0: cestF l . Pour tout réelx, on a donc-F l H-xL=F l HxL, ou encoreF l H-xL= -F l HxL: la fonctionF l est donc impaire. Remarque 1: On peut raisonner sur les aires. a Commeg l HxL0 pour tout réelx, alors poura0,F l HaL=  0 g l HtLtest laire du domaine du plan compris entre la courbeG l , laxe des abscisses et les droites déquationsx=0 etx=a. Pour tout réela0,-a<0, de même  - 0 a g l HtLtest laire du domaine du plan compris entre la courbeG l , laxe des abscisses et les droites déquationsx= -aetx=0. Comme la fonctionf l est paire, alors sa courbe est symétrique par rapport à laxe des ordonnées et donc les domaines précités sont symétriques par rapport à laxe des ordonnées: ils sont superposables et ont la même aire. 0 On en déduit que pour tout réelx0,  0 x g l HtLt=  g l HtLt. -x Remarquons finalementF l H-xL=  0 -x g l HtLt= -  0 g l HtLtdoùF l H-xL= -F l HxL. -x En raisonnant de même pourx<0, on obtient queF l est impaire. Remarque 2:

Ce résultat est général (à condition de choisir la primitive qui sannule en 0). Soitfune fonction qui sannule en 0. La fonction est paire (resp impaire) si et sa seulement si sa dérivée est impaire (resp paire).

Remarque 3: On peut aussi faire un changement de variable dans lintégrale (hors-programme de terminale). On a  0 -x g l HtLt=  uH u 0L H-xL g l HuHtLLuHtLavecuHxL= -xdonc  0 -x g l HtLt=  0 x g l H-tL H-tL= -  0 x g l HtLtcar g l est paire. 3.Pour tout réelx,F l£ HxL=  -lx 2 et comme a 0 pour tout réela, alorsF l£ HxL0 pour tout réelx. La fonctionF l est donc strictement croissante sur.