Esc 2000 mathematiques classe prepa hec (s) mathematiques 2000 classe prepa hec (s)

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTIONSCIENTIFIQUELa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer, dans lamesure du possible, les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.16Exercice 1Partie A×1. Soit Φ la fonction d´efinie surR par: Φ(x) = lnx.+V´erifier que:k−1(−1) .(k−1)!× × (k)∀k∈N , ∀x∈R , Φ (x) = .+ kx2. Montrer alors que: n k n+1X (−1) t × k∀t∈ [0,1],∀n∈N , ln(1+t)+ t ≤ . k n+1k=1n(−1)3. En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral (avec n≥ 1) converge et donner sa somme.nPartie BOn d´efinit surR la fonction num´erique r´eelle f par:f est p´eriodique de p´eriode 2pour tout x∈]−1,1[,f(x) =x.(1−|x|1. Montrer que f est continue surR et d´erivable sur [−1,1].2. Donner les variations de f sur [−1,1].n3. V´erifier que: ∀n∈N,∀x∈ [0,1],f(x+n) = (−1) f(x).4. On d´esigne par C la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e d’unit´e 2 cm. Repr´esenter lespoints de C d’abscisse comprise entre −2 et 3.Partie CSoit g la fonction d´efinie surR par: f(x)g(x) = si x = ...

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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION SCIENTIFIQUE

Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´esa`encadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument; L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.

Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautorise´e.

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