Esc 2006 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 2006 classe prepa hec (eco)

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D INDUSTRIEEPREUVES ESCCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESMATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUEAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, orthol graphe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans apprl Øciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer, dans lamesure du possible, les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document ;L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmatØrielØlectroniqueestinterditpendantcetteØpreuve.Seule ul tilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4EXERCICE 1 0 1 0 1 0 15 8 4 1 0 0 1 4 @ A @ A @ AOn considŁre les matrices : A = 1 0 0 ; T = 0 2 1 ; P = 1 2 1 oø 2R:0 1 0 0 0 2 1 1 03 ! ! ! 3On note f l endomorphisme de R de matrice A dans la base canoniqueB =(e ;e ;e ) deR .1 2 31. Etudier en discutant selon inl versibilitØ de la matrice P . (On utilisera la mØthode du pivot).3 22. On note Q le polyn me dØ ni sur R par Q(x) = x +5x 8x+4:(a) Montrer par une mØthode du pivot que : est valeur propre de A()Q() = 0:(b) Calculer Q(1). En dØduire les valeurs propres de A.(c) DØterminer une base de chaque sous-espace propre de A.La matrice A est-elle diagonalisable ?! !3. On dØ nit les triplets v = (1;1;1) et v = (4;2;1) .1 2! ! ! !(a) Justi er que f (v ) = v et que f (v ) = 2v :1 1 2 2! ! ! !DØterminer le rØel tel que le triplet v = ( ;1;0) vØri…ef (v ) = v +2v :0 3 0 3 2 ...